В физических экспериментах чаще бывает так, что искомая физическая величина сама на опыте измерена быть не может, а является функцией других величин, измеряемых непосредственно. Например, чтобы определить объём цилиндра, надо измерить диаметр D и высоту h , а затем вычислить объем по формуле
Величины D и h будут измерены с некоторой ошибкой. Следовательно, вычисленная величина V получится также с некоторой ошибкой. Надо уметь выражать погрешность вычисленной величины через погрешности измеренных величин.
Как и при прямых измерениях можно вычислять среднюю абсолютную (среднюю арифметическую) ошибку или среднюю квадратичную ошибку.
Общие правила вычисления ошибок для обоих случаев выводятся с помощью дифференциального исчисления.
Пусть искомая величина φ является функцией нескольких переменных Х, У, Z …
φ(Х, У, Z …).
Путем прямых измерений мы можем найти величины , а также оценить их средние абсолютные ошибки … или средние квадратичные ошибки s Х, s У, s Z …
Тогда средняя арифметическая погрешность Dj вычисляется по формуле
где - частные производные от φ по Х, У, Z. Они вычисляются для средних значений …
Средняя квадратичная погрешность вычисляется по формуле
Пример. Выведем формулы погрешности для вычисления объёма цилиндра.
а) Средняя арифметическая погрешность.
Величины D и h измеряются соответственно с ошибкой DD и Dh.
б) Средняя квадратичная погрешность.
Величины D и h измеряются соответственно с ошибкой s D , s h .
Погрешность величины объёма будет равна
Если формула представляет выражение удобное для логарифмирования (то есть произведение, дробь, степень), то удобнее вначале вычислять относительную погрешность. Для этого (в случае средней арифметической погрешности) надо проделать следующее.
1. Прологарифмировать выражение.
2. Продифференцировать его.
3. Объединить все члены с одинаковым дифференциалом и вынести его за скобки.
4. Взять выражение перед различными дифференциалами по модулю.
5. Заменить значки дифференциалов d на значки абсолютной погрешности D.
В итоге получится формула для относительной погрешности
Затем, зная e, можно вычислить абсолютную погрешность Dj
Пример.
Аналогично можно записать относительную среднюю квадратичную погрешность
Правила представления результатов измерения следующие:
1) погрешность должна округляться до одной значащей цифры:
правильно Dj = 0,04,
неправильно - Dj = 0,0382;
2) последняя значащая цифра результата должна быть того же порядка величины, что и погрешность:
правильно j = 9,83±0,03,
неправильно - j = 9,826±0,03;
3) если результат имеет очень большую или очень малую величину, необходимо использовать показательную форму записи - одну и ту же для результата и его погрешности, причем запятая десятичной дроби должна следовать за первой значащей цифрой результата:
правильно - j = (5,27±0,03)×10 -5 ,
неправильно - j = 0,0000527±0,0000003,
j = 5,27×10 -5 ±0,0000003,
j = = 0,0000527±3×10 -7 ,
j = (527±3)×10 -7 ,
j = (0,527±0,003) ×10 -4 .
4) Если результат имеет размерность, ее необходимо указать:
правильно – g=(9,82±0,02) м/c 2 ,
неправильно – g=(9,82±0,02).
Правила построения графиков
1. Графики строятся на миллиметровой бумаге.
2. Перед построением графика необходимо четко определить, какая переменная величина является аргументом, а какая функцией. Значения аргумента откладываются на оси абсцисс (ось х ), значения функции - на оси ординат (ось у ).
3. Из экспериментальных данных определить пределы изменения аргумента и функции.
4. Указать физические величины, откладываемые на координатных осях, и обозначить единицы величин.
5. Нанести на график экспериментальные точки, обозначив их (крестиком, кружочком, жирной точкой).
6. Провести через экспериментальные точки плавную кривую (прямую) так, чтобы эти точки приблизительно в равном количестве располагались по обе стороны от кривой.
Если искомая физическая величина не может быть измерена непосредственно прибором, а посредством формулы выражается через измеряемые величины, то такие измерения называются косвенными .
Как и при прямых измерениях можно вычислять среднюю абсолютную (среднюю арифметическую) ошибку или среднюю квадратичную ошибку косвенных измерений.
Общие правила вычисления ошибок для обоих случаев выводятся с помощью дифференциального исчисления.
Пусть физическая величина j(x , y, z, ... ) является функцией ряда независимых аргументов x, y, z, ... , каждый из которых может быть определен экспериментально. Путем прямых измерений определяются величины и оцениваются их средние абсолютные погрешности или средние квадратичные погрешности .
Средняя абсолютная погрешность косвенных измерений физической величины j вычисляется по формуле
где - частные производные от φ по x, y, z, вычисленные для средних значений соответствующих аргументов.
Так как в формуле использованы абсолютные величины всех членов суммы, то выражение для оценивает максимальную погрешность измерения функции при заданных максимальных ошибках независимых переменных.
Средняя квадратичная погрешность косвенных измерений физической величины j
Относительная максимальная погрешность косвенных измерений физической величины j
где и т. д.
Аналогично можно записать относительную среднюю квадратичную погрешность косвенных измерений j
Если формула представляет выражение удобное для логарифмирования (то есть произведение, дробь, степень), то удобнее вначале вычислять относительную погрешность . Для этого (в случае средней абсолютной погрешности) надо проделать следующее.
1. Прологарифмировать выражение для косвенного измерения физической величины.
2. Продифференцировать его.
3. Объединить все члены с одинаковым дифференциалом и вынести его за скобки.
4. Взять выражение перед различными дифференциалами по модулю.
5. Формально заменить значки дифференциалов на значки абсолютной погрешности D.
Затем, зная e, можно вычислить абсолютную погрешность Dj по формуле
Пример 1. Вывод формулы для вычисления максимальной относительной погрешности косвенных измерений объёма цилиндра.
Выражение для косвенного измерения физической величины (исходная формула)
Величина диаметра D и высоты цилиндра h измеряются непосредственно приборами с погрешностями прямых измерений соответственноD D и Dh.
Прологарифмируем исходную формулу и получим
Продифференцируем полученное уравнение
Заменив значки дифференциалов на значки абсолютной погрешности D, окончательно получим формулу для расчёта максимальной относительной погрешности косвенных измерений объёма цилиндра
Формулы вычисления погрешностей косвенных измерений основаны на представлениях дифференциального исчисления.
Пусть зависимость величины Y от измеряемой величины Z имеет простой вид: .
Здесь и - постоянные, значения которых известны. Если z увеличить или уменьшить на некоторое число , то соответственно изменится на :
Если - погрешность измеренной величины Z , то соответственно будет погрешностью вычисляемой величины Y .
Получим формулу абсолютной погрешности в общем случае функции одной переменной . Пусть график этой функции имеет вид, показанный на рис.1. Точному значению аргумента z 0 соответствует точное значение функцииy 0 = f(z 0).
Измеренное значение аргумента отличается от точного значения аргумента на величину Δz вследствие ошибок измерений. Значение функции будет отличаться от точного на величину Δy.
Из геометрического смысла производной как тангенса угла наклона касательной к кривой в данной точке (рис. 1) следует:
. (10)
Формула для относительной погрешности косвенного измерения в случае функции одной переменной будет иметь вид:
. (11)
Учитывая, что дифференциал функции равен , получим
(12)
Если косвенное измерение представляет собой функцию m
переменных 
, то погрешность косвенного измерения будет зависеть от погрешностей прямых измерений . Частную погрешность, связанную с ошибкой измерения аргумента , обозначим . Она составляет приращение функции за счет приращения при условии, что все остальные аргументы неизменны. Таким образом, частную абсолютную погрешность запишем согласно (10) в следующем виде:
(13)
Таким образом, чтобы найти частную погрешность косвенного измерения , надо, согласно (13), частную производную умножить на погрешность прямого измерения . При вычислении частной производной функции по остальные аргументы считаются постоянными.
Результирующая абсолютная погрешность косвенного измерения определяется по формуле, в которую входят квадраты частных погрешностей
косвенного измерения :
или с учетом (13)
(14)
Относительная погрешность косвенного измерения определяется по формуле:
Или с учетом (11) и (12)
. (15)
Пользуясь (14) и (15), находят одну из погрешностей, абсолютную или относительную, в зависимости от удобства вычислений. Так, например, если рабочая формула имеет вид произведения, отношения измеряемых величин, ее легко логарифмировать и по формуле (15) определить относительную погрешность косвенного измерения. Затем абсолютную погрешность вычислить по формуле (16):
Для иллюстрации вышеизложенного порядка определения погрешности косвенных измерений вернемся к виртуальной лабораторной работе «Определение ускорения свободного падения при помощи математического маятника».
Рабочая формула (1) имеет вид отношения измеряемых величин:
Поэтому начнем с определения относительной погрешности. Для этого прологарифмируем данное выражение, а затем вычислим частные производные:
; ; 
.
Подстановка в формулу (15) приводит к формуле относительной погрешности косвенного измерения:
(17)
После подстановка результатов прямых измерений
{ 
; 
} в (17) получаем:
(18)
Для вычисления абсолютной погрешности используем выражение (16) и ранее вычисленное значение (9) ускорения свободного падения g :
Результат вычисления абсолютной погрешности округляем до одной значащей цифры. Вычисленное значение абсолютной погрешности определяет точность записи окончательного результата:
, α ≈ 1. (19)
При этом доверительная вероятность определяется доверительной вероятностью тех из прямых измерений, которые внесли решающий вклад в погрешность косвенного измерения. В данном случае это измерения периода.
Таким образом, с вероятностью близкой к 1 величина g лежит в пределах от 8 до 12 .
Для получения более точного значения ускорения свободного падения g необходимо совершенствовать методику измерений. С этой целью надо уменьшить относительную погрешность , которая в основном, как следует из формулы (18), определяется погрешностью измерения времени.
Для этого надо измерять время не одного полного колебания, а, например, 10-ти полных колебаний. Тогда, как следует из (2), формула относительной погрешности примет вид:
. (20)
В табл.4 представлены результаты измерения времени для N = 10
Для величины L возьмем результаты измерений из табл.2. Подставляя результаты прямых измерений в формулу (20), найдем относительную погрешность косвенного измерения:
По формуле (2) вычислим значение косвенно измеряемой величины:
.
.
Окончательный результат записывается в виде:
; ; .
В этом примере показана роль формулы относительной погрешности в анализе возможных направлений совершенствования методики измерений.
Любые измерения всегда производятся с какими-то погрешностями, связанными с ограниченной точностью измерительных приборов, неправильным выбором, и погрешностью метода измерений, физиологией экспериментатора, особенностями измеряемых объектов, изменением условий измерения и т.д. Поэтому в задачу измерения входит нахождение не только самой величины, но и погрешности измерения, т.е. интервала, в котором вероятнее всего находится истинное значение измеряемой величины. Например, при измерении отрезка времени t секундомером с ценой деления 0,2 с можно сказать, что истинное значение его находится в интервале от с до 
с. Таким образом, измеряемая величина всегда содержит в себе некоторую погрешность 
, где 
и X – соответственно истинное и измеренное значения исследуемой величины. Величина 
называется абсолютной погрешностью
(ошибкой) измерения, а выражение 
, характеризующее точность измерения, называется относительной погрешностью.
Вполне естественно стремление экспериментатора произвести всякое измерение с наибольшей достижимой точностью, однако такой подход не всегда целесообразен. Чем точнее мы хотим измерить ту ил иную величину, тем сложнее приборы мы должны использовать, тем больше времени потребуют эти измерения. Поэтому точность окончательного результата должна соответствовать цели проводимого эксперимента. Теория погрешностей дает рекомендации, как следует вести измерения и как обрабатывать результаты, чтобы величина погрешности была минимальной.
Все возникающие при измерениях погрешности обычно разделяют на три типа – систематические, случайные и промахи, или грубые ошибки.
Систематические погрешности обусловлены ограниченной точностью изготовления приборов (приборные погрешности), недостатками выбранного метода измерений, неточностью расчетной формулы, неправильной установкой прибора и т.д. Таким образом, систематические погрешности вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Величина этой погрешности систематически повторяется либо изменяется по определенному закону. Некоторые систематические ошибки могут быть исключены (на практике этого всегда легко добиться) путем изменения метода измерений, введение поправок к показаниям приборов, учета постоянного влияния внешних факторов.
Хотя систематическая (приборная) погрешность при повторных измерениях дает отклонение измеряемой величины от истинного значения в одну сторону, мы никогда не знаем в какую именно. Поэтому приборная погрешность записывается с двойным знаком
Случайные погрешности вызываются большим числом случайных причин (изменением температуры, давления, сотрясения здания и т.д.), действия которых на каждое измерение различно и не может быть заранее учтено. Случайные погрешности происходят также из-за несовершенства органов чувств экспериментатора. К случайным погрешностям относятся и погрешности обусловленные свойствами измеряемого объекта.
Исключить случайны погрешности отдельных измерений невозможно, но можно уменьшить влияние этих погрешностей на окончательный результат путем проведения многократных измерений. Если случайная погрешность окажется значительно меньше приборной (систематической), то нет смысла дальше уменьшать величину случайной погрешности за счет увеличения числа измерений. Если же случайная погрешность больше приборной, то число измерений следует увеличить, чтобы уменьшить значение случайной погрешности и сделать ее меньше или одного порядка с погрешностью прибора.
Промахи, или грубые ошибки, - это неправильные отсчеты по прибору, неправильная запись отсчета и т.п. Как правило, промахи, обусловленные указанными причинами хорошо заметны, так как соответствующие им отсчеты резко отличаются от других отсчетов. Промахи должны быть устранены путем контрольных измерений. Таким образом, ширину интервала в котором лежат истинные значения измеряемых величин, будут определять только случайные и систематические погрешности.
2 . Оценка систематической (приборной) погрешности
При прямых измерениях значение измеряемой величины отсчитывается непосредственно по шкале измерительного прибора. Ошибка в отсчете может достигать нескольких десятых долей деления шкалы. Обычно при таких измерениях величину систематической погрешности считают равной половине цены деления шкалы измерительного прибора. Например, при измерении штангенциркулем с ценой деления 0,05 мм величина приборной погрешности измерения принимают равной 0,025 мм.
Цифровые измерительные приборы дают значение измеряемых ими величин с погрешностью, равной значению одной единицы последнего разряда на шкале прибора. Так, если цифровой вольтметр показывает значение20,45 мВ, то абсолютная погрешность при измерении равна 
мВ.
Систематические погрешности возникают и при использовании постоянных величин, определяемых из таблиц. В подобных случаях погрешность принимается равной половине последнего значащего разряда. Например, если в таблице значение плотности стали дается величиной, равной 7,9∙10 3 кг/м 3 , то абсолютная погрешность в этом случае равна 
кг/м 3 .
Некоторые особенности в расчете приборных погрешностей электроизмерительных приборов будут рассмотрены ниже.
При определении систематической (приборной) погрешности косвенных измерений
функциональной величины 
используется формула
, (1)
где 
- приборные ошибки прямых измерений величины 
, 
- частные производные функции по переменной .
В качестве примера, получим формулу для расчета систематической погрешности при измерении объема цилиндра. Формула вычисления объема цилиндра имеет вид
.
Частные производные по переменным d и h будут равны
, 
.
Таким образом, формула для определения абсолютной систематической погрешности при измерении объема цилиндра в соответствии с (2. ..) имеет следующий вид
,
где 
и 
приборные ошибки при измерении диаметра и высоты цилиндра
3. Оценка случайной погрешности.
Доверительный интервал и доверительная вероятность
Ля подавляющего большинства простых измерений достаточно хорошо выполняется так называемый нормальный закон случайных погрешностей (закон Гаусса) , выведенный из следующих эмпирических положений.
погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений;
при большом числе измерений погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто,
чем больше величина случайной погрешности, тем меньше вероятность ее появления.
График нормального закона распределения Гаусса представлен на рис.1. Уравнение кривой имеет вид
, (2)
где 
- функция распределения случайных ошибок (погрешностей), характеризующая вероятность появления ошибки 
, σ – средняя квадратичная ошибка.
Величина σ не является случайной величиной и характеризует процесс измерений. Если условия измерений не изменяются, то σ остается постоянной величиной. Квадрат этой величины называют дисперсией измерений. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных значений и тем выше точность измерений.
Точное значение средней квадратичной ошибки σ, как и истинное значение измеряемой величины, неизвестно. Существует так называемая статистическая оценка этого параметра, в соответствии с которой средняя квадратичная ошибка равняется средней квадратичной ошибке среднего арифметического 
. Величина которой определяется по формуле
, (3)
где 
- результат i
-го измерения; 
- среднее арифметическое полученных значений; n
– число измерений.
Чем больше число измерений, тем меньше и тем больше оно приближается к σ. Если истинное значение измеряемой величины μ, ее среднее арифметическое значение, полученное в результате измерений , а случайная абсолютная погрешность , то результат измерений запишется в виде 
.
Интервал значений от 
до 
, в который попадает истинное значение измеряемой величины μ, называется доверительным интервалом.
Поскольку является случайной величиной, то истинное значение попадает в доверительный интервал с вероятностью α, которая называется доверительной вероятностью,
или надежностью
измерений. Эта величина численно равна площади заштрихованной криволинейной трапеции. (см. рис.)
Все это справедливо для достаточно большого числа измерений, когда близка к σ. Для отыскания доверительного интервала и доверительной вероятности при небольшом числе измерений, с которым мы имеем дело в ходе выполнения лабораторных работ, используется распределение вероятностей Стьюдента.
Это распределение вероятностей случайной величины 
, называемой коэффициентом Стьюдента
, дает значение доверительного интервала в долях средней квадратичной ошибки среднего арифметического .
. (4)
Распределение вероятностей этой величины не зависит от σ 2 , а существенно зависит от числа опытов n . С увеличением числа опытов n распределение Стьюдента стремится к распределению Гаусса.
Функция распределения табулирована (табл.1). Значение коэффициента Стьюдента находится на пересечении строки, соответствующей числу измерений n , и столбца, соответствующего доверительной вероятности α
Таблица 1.
Пользуясь данными таблицы, можно:
определить доверительный интервал, задаваясь определенной вероятностью;
выбрать доверительный интервал и определить доверительную вероятность.
При косвенных измерениях среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического значения функции вычисляют по формуле
. (5)
Доверительный интервал и доверительная вероятность определяются так же, как и в случае прямых измерений.
Оценка суммарной погрешности измерений. Запись окончательного результата.
Суммарную погрешность результата измерений величины Х будем определять как среднее квадратичное значение систематической и случайной погрешностей
, (6)
где δх – приборная погрешность, Δх – случайная погрешность.
В качестве Х может быть как непосредственно, так и косвенно измеряемая величина.
, α=…, Е=…
(7)
Следует иметь в виду, что сами формулы теории ошибок справедливы для большого число измерений. Поэтому значение случайной, а следовательно, и суммарной погрешности определяется при малом n
с большой ошибкой. При вычислении Δх
при числе измерений 
рекомендуется ограничиваться одной значащей цифрой, если она больше 3 и двумя, если первая значащая цифра меньше 3. Например, если Δх
= 0,042, то отбрасываем 2 и пишем Δх
=0,04, а если Δх
=0,123, то пишем Δх
=0,12.
Число разрядов результата и суммарной погрешности должно быть одинаковым. Поэтому среднее арифметическое погрешности должно быть одинаковым. Поэтому среднее арифметическое вычисляется вначале на один разряд больше, чем измерение, а при записи результата его значение уточняется до числа разрядов суммарной ошибки.
4. Методика расчета погрешностей измерений.
Погрешности прямых измерений
При обработке результатов прямых измерений рекомендуется принять следующий порядок выполнение операций.
. (8)
.
.
Определяется суммарная погрешность
Оценивается относительная погрешность результата измерений
.
Записывается окончательный результат в виде
, с α=… Е=…%.
5. Погрешность косвенных измерений
При оценке истинного значения косвенно измеряемой величины , являющейся функцией других независимых величин 
, можно использовать два способа.
Первый способ
используется, если величина y
определяется при различных условиях опыта. В этом случае для каждого из значений вычисляется 
, а затем определяется среднее арифметическое из всех значений y
i
. (9)
Систематическая (приборная) погрешность находится на основании известных приборных погрешностей всех измерений по формуле. Случайная погрешность в этом случае определяется как ошибка прямого измерения.
Второй способ применяется, если данная функция y определяется несколько раз при одних и тех же измерений. В этом случае величина рассчитывается по средним значениям . В нашем лабораторном практикуме чаще используется второй способ определения косвенно измеряемой величины y . Систематическая (приборная) погрешность, как и при первом способе, находится на основании известных приборных погрешностей всех измерений по формуле
Для нахождения случайной погрешности косвенного измерения вначале рассчитываются средние квадратичные ошибки среднего арифметического отдельных измерений. Затем находится средняя квадратичная ошибка величины y . Задание доверительной вероятности α, нахождение коэффициента Стьюдента , определение случайной и суммарной ошибок осуществляются так же, как и в случае прямых измерений. Аналогичным образом представляется результат всех расчетов в виде
, с α=… Е=…%.
6. Пример оформления лабораторной работы
Лабораторная работа №1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМА ЦИЛИНДРА
Принадлежности: штангенциркуль с ценой деления 0,05 мм, микрометр с ценой деления 0,01 мм, цилиндрическое тело.
Цель работы: ознакомление с простейшими физическими измерениями, определение объема цилиндра, расчет погрешностей прямых и косвенных измерений.
Порядок выполнения работы
Провести не менее 5 раз измерения штангенциркулем диаметра цилиндра, а микрометром его высоту.
Расчетная формула для вычисления объема цилиндра
где d – диаметр цилиндра; h – высота.
Результаты измерений
Таблица 2.
№ измерения | ||||||
| ; |
При обработке результатов косвенных измерений физической величины, связанной функционально с физическими величинами А, В и С, которые измеряются прямым способом, сначала определяют относительную погрешность косвенного измерения e= DХ/Х пр, пользуясь формулами, приведенными в таблице (без доказательств).
Абсолютную погрешность определяется по формуле DХ=Х пр *e,
где e выражается десятичной дробью, а не в процентах.
Окончательный результат записывается так же, как и в случае прямых измерений
| Вид функции | Формула |
| Х=А+В+С | |
| Х=А-В | |
| Х=А*В*С | |
| Х=А n | |
| Х=А/В | |
| Х= |
(+ http://fiz.1september.ru/2001/16/no16_01.htm полезно) Как правильно проводить измерения http://www.fizika.ru/fakultat/index.php?theme=01&id=1220
Пример: Вычислим погрешность измерения коэффициента трения с помощью динамометра. Опыт заключается в том, что брусок равномерно тянут по горизонтальной поверхности и измеряют прикладываемую силу: она равна силе трения скольжения.
С помощью динамометра взвесим брусок с грузами: 1,8 Н. F тр =0,6 Н
μ=0,33. Инструментальная погрешность динамометра (находим по таблице) составляет Δ и =0,05Н, Погрешность отсчета (половина цены деления)
Δ о =0,05Н. Абсолютная погрешность измерения веса и силы трения 0,1 Н.
Относительная погрешность измерения (в таблице 5-я строчка)
Следовательно абсолютная погрешность косвенного измерения μ составляет 0,22*0,33=0,074
Ответ:
Измерить физическую величину - значит сравнить ее с другой однородной величиной, принятой за единицу измерения. Измерение может быть произведено с помощью:
1. мер, представляющих собой образцы единицы измерения (метр, гиря, литровый сосуд и т.п.),
2. измерительных приборов (амперметр, манометр и т.п.),
3. измерительных установок, под которыми понимают совокупность мер, измерительных приборов и вспомогательных элементов.
Измерения бывают прямые и косвенные. В прямых измерениях физическая величина измеряется непосредственно. Прямыми измерениями являются, например, измерение длины линейкой, времени - секундомером, силы тока - амперметром.
В косвенных измерениях непосредственно измеряют не ту величину, значение которой нужно узнать, а другие величины, с которыми искомая величина связана определенной математической зависимостью. Например, плотность тела определяют по измерению его массы и объема, а сопротивление - по измерению силы тока и напряжения.
В силу несовершенства мер и измерительных приборов, а также наших органов чувств, измерения не могут быть выполнены точно, т.е. всякое измерение дает лишь приближенный результат. Кроме того, часто причиной отклонения результатов измерений является природа самой измеряемой величины. Например, температура, измеряемая термометром или термопарой в определенной точке печи, колеблется вследствие конвекции и теплопроводности в определенных пределах. Мерой оценки точности результата измерения служит погрешность измерения (ошибка измерения) .
Для оценки точности указывают либо абсолютную погрешность, либо относительную погрешность измерения. Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины. Например, отрезок пути, пройденный телом, , измерен с абсолютной погрешностью . Относительная погрешность измерения - это отношение абсолютной погрешности к значению измеряемой величины. В приведенном примере относительная погрешность равна . Чем меньше погрешность измерения, тем выше его точность.
По источникам своего происхождения погрешности измерения подразделяют на систематические, случайные и грубые (промахи).
1. Систематические погрешности - погрешности измерения, величина которых остается постоянной при повторных измерениях, проводимых одним и тем же методом, с помощью одних и тех же измерительных приборов. Причинами систематических погрешностей являются:
· неисправности, неточности измерительных приборов
· неправомерность, неточность использованной методики измерения
Примером систематических погрешностей может быть измерение температуры термометром со смещенной нулевой точкой, измерение тока неправильно отградуированным амперметром, взвешивание тела на весах при помощи гирь без учета выталкивающей силы Архимеда.
Для устранения или уменьшения систематических погрешностей надо тщательно проверить измерительные приборы, произвести измерение одних и тех же величин разными методами, вводить поправки, когда ошибки заведомо известны (поправки на выталкивающую силу, поправки на показания термометра).
2. Грубые ошибки (промахи) - существенное превышение величины погрешности, ожидаемой при данных условиях измерения. Промахи появляются в результате неправильной записи показаний прибора, неправильного отсчета по прибору, из-за ошибки в расчетах при косвенных измерениях. Источник промахов - невнимательность экспериментатора. Путь устранения этих погрешностей - аккуратность экспериментатора, исключение переписывания протоколов измерения.
3. Случайные погрешности - погрешности, величина которых меняется случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины одним и тем же методом при помощи тех же приборов. Источником случайных погрешностей является неконтролируемая невоспроизводимость условий измерения. Например, во время измерения неконтролируемым образом может меняться температура, влажность, атмосферное давление, напряжение в электрической сети, состояния органов чувств экспериментатора. Исключить случайные погрешности нельзя. При многократных измерениях случайные ошибки подчиняются статистическим законам, и их влияние можно учесть.
; 
.
; Е = 0,5%.
, Е = 0,5%.
