Истинное значение физической величины определить абсолютно точно практически невозможно, т.к. любая операция измерения связана с рядом ошибок или, иначе, погрешностей. Причины погрешностей могут быть самыми различными. Их возникновение может быть связано с неточностями изготовления и регулировки измерительного прибора, обусловлено физическими особенностями исследуемого объекта (например, при измерении диаметра проволоки неоднородной толщины результат случайным образом зависит от выбора участка измерений), причинами случайного характера и т.д.
Задача экспериментатора заключается в том, чтобы уменьшить их влияние на результат, а также указать, насколько полученный результат близок к истинному.
Существуют понятия абсолютной и относительной погрешности.
Под абсолютной погрешностью измерений будет понимать разницу между результатом измерения и истинным значением измеряемой величины:
∆x i =x i -x и (2)
где ∆x i – абсолютная погрешность i-го измерения, x i _- результат i-го измерения, x и – истинное значение измеряемой величины.
Результат любого физического измерения принято записывать в виде:
где – среднее арифметическое значение измеряемой величины, наиболее близкое к истинному значению (справедливость x и≈ будет показана ниже), - абсолютная ошибка измерений.
Равенство (3) следует понимать таким образом, что истинное значение измеряемой величины лежит в интервале [ - , + ].
Абсолютная погрешность – величина размерная, она имеет ту же размерность, что и измеряемая величина.
Абсолютная погрешность не полностью характеризует точность произведенных измерений. В самом деле, если мы измерим с одной и той же абсолютной ошибкой ± 1 мм отрезки длиной 1 м и 5 мм, точность измерений будут несравнимы. Поэтому, наряду с абсолютной погрешностью измерения вычисляется относительная погрешность.
Относительной погрешностью измерений называется отношение абсолютной погрешности к самой измеряемой величине:
Относительная погрешность – величина безразмерная. Она выражается в процентах:
В приведенном выше примере относительные ошибки равны 0,1% и 20%. Они заметно различаются между собой, хотя абсолютные значения одинаковы. Относительная ошибка дает информацию о точности
Погрешности измерений
По характеру проявления и причинам появления погрешности можно условно разделить на следующие классы: приборные, систематические, случайные, и промахи (грубые ошибки).
П р о м а х и обусловлены либо неисправностью прибора, либо нарушением методики или условий эксперимента, либо имеют субъективный характер. Практически они определяются как результаты резко отличающиеся от других. Для устранения их появления требуется соблюдать аккуратность и тщательность в работе с приборами. Результаты, содержащие промахи, необходимо исключать из рассмотрения (отбрасывать).
Приборные погрешности. Если измерительный прибор исправен и отрегулирован, то на нем можно провести измерения с ограниченной точностью, определяемой типом прибора. Принято приборную погрешность стрелочного прибора считать равной половине наименьшего деления его шкалы. В приборах с цифровым отсчетом приборную ошибку приравнивают к величине одного наименьшего разряда шкалы прибора.
Систематические погрешности - это ошибки, величина и знак которых постоянны для всей серии измерений, проведенных одним и тем же методом и с помощью одних и тех же измерительных приборов.
При проведении измерений важен не только учет систематических ошибок, но необходимо также добиваться их исключения.
Систематические погрешности условно разделяются на четыре группы:
1) погрешности, природа которых известна и их величина может быть достаточно точно определена. Такой ошибкой является, например, изменение измеряемой массы в воздухе, которая зависит от температуры, влажности, давления воздуха и т.д.;
2) погрешности, природа которых известна, но неизвестна сама величина погрешности. К таким погрешностям относятся ошибки, обусловленные измерительным прибором: неисправность самого прибора, несоответствие шкалы нулевому значению, классу точности данного прибора;
3) погрешности, о существовании которых можно не подозревать, но величина их зачастую может быть значительной. Такие ошибки возникают чаще всего при сложных измерениях. Простым примером такой ошибки является измерение плотности некоторого образца, содержащего внутри полости;
4) погрешности, обусловленные особенностями самого объекта измерения. Например, при измерении электропроводности металла из последнего берут отрезок проволоки. Погрешности могут возникнуть, если имеется какой-либо дефект в материале - трещина, утолщение проволоки или неоднородность, меняющие его сопротивление.
Случайные погрешности - это ошибки, которые изменяются случайным образом по знаку и величине при идентичных условиях повторных измерений одной и той же величины.
Похожая информация.
Измерения называются прямыми, если значения величин определяются приборами непосредственно (например, измерение длины линейкой, определение времени секундомером и т. д.). Измерения называютсякосвенными , если значение измеряемой величины определяется посредством прямых измерений других величин, которые связаны с измеряемой определенной зависимостью.
Абсолютная и относительная погрешность. Пусть проведеноN измерений одной и той же величиныx в отсутствии систематической погрешности. Отдельные результаты измерений имеют вид:x 1 ,x 2 , …,x N . В качестве наилучшего выбирается среднее значение измеренной величины:
Абсолютной погрешностью единичного измерения называется разность вида:
.
Среднее значение абсолютной погрешности N единичных измерений:
(2)
называется средней абсолютной погрешностью .
Относительной погрешностью называется отношение средней абсолютной погрешности к среднему значению измеряемой величины:
.
(3)
Если нет особых указаний, погрешность прибора равна половине его цены деления (линейка, мензурка).
Погрешность приборов, снабженных нониусом, равна цене деления нониуса (микрометр – 0,01 мм, штангенциркуль – 0,1 мм).
Погрешность табличных величин равна половине единицы последнего разряда (пять единиц следующего порядка за последней значащей цифрой).
Погрешность электроизмерительных приборов вычисляется согласно классу точности С , указанному на шкале прибора:
Например:
и
,
где U max и I max – предел измерения прибора.
Погрешность приборов с цифровой индикацией равна единице последнего разряда индикации.
После оценки случайной и приборной погрешностей в расчет принимается та, значение которой больше.
Большинство измерений являются косвенными. В этом случае искомая величина Х является функцией нескольких переменных а, b , c … , значения которых можно найти прямыми измерениями: Х = f(a , b , c …).
Среднее арифметическое результата косвенных измерений будет равно:
X = f(a ,b ,c …).
Одним
из способов вычисления погрешности
является способ дифференцирования
натурального логарифма функции Х =
f(a
,
b
,
c
…).
Если, например, искомая величина Х
определяется соотношением Х =
,
то после логарифмирования получаем:lnX
= lna
+ lnb
+ ln(c
+
d
).
Дифференциал этого выражения имеет вид:
.
Применительно к вычислению приближенных значений его можно записать для относительной погрешности в виде:
=
.
(4)
Абсолютная погрешность при этом рассчитывается по формуле:
Х = Х(5)
Таким образом, расчет погрешностей и вычисление результата при косвенных измерениях производят в следующем порядке:
1) Проводят измерения всех величин, входящих в исходную формулу для вычисления конечного результата.
2) Вычисляют средние арифметические значения каждой измеряемой величины и их абсолютные погрешности.
3) Подставляют в исходную формулу средние значения всех измеренных величин и вычисляют среднее значение искомой величины:
X = f(a ,b ,c …).
4) Логарифмируют исходную формулу Х = f(a , b , c …) и записывают выражение для относительной погрешности в виде формулы (4).
5)
Рассчитывают относительную погрешность
=
.
6) Рассчитывают абсолютную погрешность результата по формуле (5).
7) Окончательный результат записывают в виде:
|
Х = Х ср Х |
Абсолютные и относительные погрешности простейших функций приведены в таблице:
|
Абсолютная погрешность |
Относительная погрешность |
|
|
a + b |
a+ b |
|
|
a+ b |
|
|
|
В процессе измерения чего-либо нужно учитывать, что полученный результат еще неконечный. Чтобы более точно высчитать искомую величину, необходимо учитывать погрешность. Высчитать ее достаточно просто. Как найти погрешность – вычислениеРазновидности погрешностей:
Что нужно для вычисления:
Как найти погрешность – последовательность действий
Погрешности измерений возникают по различным причинам и влияют на точность полученного значения. Зная, чему равна погрешность, можно узнать более точное значение проведенного измерения. Ни одно измерение не свободно от погрешностей, или, точнее, вероятность измерения без погрешностей приближается к нулю. Род и причины погрешностей весьма разнообразны и на них влияют многие факторы (рис.1.2). Общая характеристика влияющих факторов может быть систематизирована с различных точек зрения, например, по влиянию перечисленных факторов (рис.1.2). По результатам измерения погрешности можно разделить на три вида: систематические, случайные и промахи. Систематические погрешности, в свою очередь, делят на группы по причине их возникновения и характеру проявления. Они могут быть устранены различными способами, например, введением поправок. рис. 1.2 Случайные погрешности вызываются сложной совокупностью изменяющихся факторов, обычно неизвестных и трудно поддающихся анализу. Их влияние на результат измерения можно уменьшить, например, путем многократных измерений с дальнейшей статистической обработкой полученных результатов методом теории вероятностей. К промахам относятся грубые погрешности, которые возникают при внезапных изменениях условия эксперимента. Эти погрешности по своей природе тоже случайны, и после выявления должны быть исключены. Точность измерений оценивается погрешностями измерений, которые подразделяются по природе возникновения на инструментальную и методическую и по методу вычислений на абсолютную, относительную и приведенную. Инструментальная погрешность характеризуется классом точности измерительного прибора, который приведен в его паспорте в виде нормируемых основной и дополнительных погрешностей. Методическая погрешность обусловлена несовершенством методов и средств измерений. Абсолютная погрешность есть разность между измеренным G u и истинным G значениями величины, определяемая по формуле: Δ=ΔG=G u -G Заметим, что величина имеет размерность измеряемой величины. Относительную погрешность находят из равенства δ=±ΔG/G u ·100% Приведенную погрешность рассчитывают по формуле (класс точности измерительного прибора) δ=±ΔG/G норм ·100% где G норм – нормирующее значение измеряемой величины. Ее принимают равной: а) конечному значению шкалы прибора, если нулевая отметка находится на краю или вне шкалы; б) сумме конечных значений шкалы без учета знаков, если нулевая отметка расположена внутри шкалы; в) длине шкалы, если шкала неравномерная. Класс точности прибора устанавливается при его проверке и является нормируемой погрешностью, вычисляемой по формулам γ=±ΔG/G норм ·100%, если ΔG m =const
где ΔG m – наибольшая возможная абсолютная погрешность прибора; G k – конечное значение предела измерения прибора; с и d – коэффициенты, учитывающие конструктивные параметры и свойства измерительного механизма прибора. Например, для вольтметра с постоянной относительной погрешностью имеет место равенство δ m =±c Относительная и приведенная погрешности связаны следующими зависимостями: а) для любого значения приведенной погрешности δ=±γ·G норм /G u б) для наибольшей приведенной погрешности δ=±γ m ·G норм /G u Из этих соотношений следует, что при измерениях, например вольтметром, в цепи при одном и том же значении напряжения относительная погрешность тем больше, чем меньше измеряемое напряжение. И если этот вольтметр выбран неправильно, то относительная погрешность может быть соизмерима со значением G н , что является недопустимым. Заметим, что в соответствии с терминологией решаемых задач, например, при измерении напряжения G = U , при измерении тока C = I , буквенные обозначения в формулах для вычисления погрешностей необходимо заменять на соответствующие символы. Пример 1.1. Вольтметром, имеющим значения γ m = 1,0 % , U н = G норм, G k = 450 В , измеряют напряжение U u , равное 10 В. Оценим погрешности измерений. Решение.
Ответ. Погрешность измерений составляет 45 %. При такой погрешности измеренное напряжение нельзя считать достоверным. При ограниченных возможностях выбора прибора (вольтметра), методическая погрешность может быть учтена поправкой, вычисленной по формуле
Пример 1.2. Вычислить абсолютную погрешность вольтметра В7-26 при измерениях напряжения в цепи постоянного тока. Класс точности вольтметра задан максимально приведенной погрешностью γ m =±2,5 % . Используемый в работе предел шкалы вольтметра U норм =30 В. Решение. Абсолютная погрешность вычисляется по известным формулам:
(так как приведенная погрешность, по определению, выражается формулой Ответ. ΔU = ±0,75 В . Важными этапами в процессе измерений являются обработка результатов и правила округления. Теория приближенных вычислений позволяет, зная степень точности данных, оценить степень точности результатов еще до выполнения действий: отобрать данные с надлежащей степенью точности, достаточной для обеспечения требуемой точности результата, но не слишком большую, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчетов; рационализировать сам процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры результаты. При обработке результатов применяют правила округления.
Если за цифрой пять есть значащие цифры, то округление производится по правилу 2. Применяя правило 3 к округлению одного числа, мы не увеличиваем точность округления. Но при многочисленных округлениях избыточные числа будут встречаться примерно столь же часто, как недостаточно. Взаимная компенсация погрешности обеспечит наибольшую точность результата. Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью. Величина предельной погрешности не является вполне определенной. Для каждого приближенного числа должна быть известна его предельная погрешность (абсолютная или относительная). Когда она прямо не указана, то подразумевается, что предельная абсолютная погрешность составляет половину единицы последнего выписанного разряда. Так, если приведено приближенное число 4,78 без указания предельной погрешности, то подразумевается, что предельная абсолютная погрешность составляет 0,005. Вследствие этого соглашения всегда можно обойтись без указания предельной погрешности числа, округленного по правилам 1-3, т.е., если приближенное число обозначить буквой α , то Где Δn – предельная абсолютная погрешность; а δ n – предельная относительная погрешность. Кроме того, при обработке результатов используются правила нахождения погрешности суммы, разности, произведения и частного.
Предельную относительную погрешность легко найти, вычислив предельную абсолютную погрешность.
Если все слагаемые имеют одну и ту же предельную относительную погрешность, то и сумма имеет ту же предельную относительную погрешность. Иными словами, в этом случае точность суммы (в процентном выражении) не уступает точности слагаемых. В противоположность сумме разность приближенных чисел может быть менее точной, чем уменьшаемое и вычитаемое. Потеря точности особенно велика в том случае, когда уменьшаемое и вычитаемое мало отличаются друг от друга.
Примечания : 1. Если перемножаются приближенные числа с одним и тем же количеством значащих цифр, то в произведении следует сохранить столько же значащих цифр. Последняя из сохраняемых цифр будет не вполне надежна. 2. Если некоторые сомножители имеют больше значащих цифр, чем другие, то до умножения следует первые округлить, сохранив в них столько цифр, сколько имеет наименее точный сомножитель или еще одну (в качестве запасной), дальнейшие цифры сохранять бесполезно. 3. Если требуется, чтобы произведение двух чисел имело заранее данное число вполне надежное, то в каждом из сомножителей число точных цифр (полученное измерением или вычислением) должно быть на единицу больше. Если количество сомножителей больше двух и меньше десяти, то в каждом из сомножителей число точных цифр для полной гарантии должно быть на две единицы больше, чем требуемое число точных цифр. Практически же вполне достаточно взять лишь одну лишнюю цифру.
Пример 1.3. Найти предельную абсолютную погрешность частного 2,81: 0,571. Решение. Предельная относительная погрешность делимого есть 0,005:2,81=0,2%; делителя – 0,005:0,571=0,1%; частного – 0,2% + 0,1%=0,3%. Предельная абсолютная погрешность частного приближенно составит 2,81:0,571·0,0030=0,015 Значит, в частном 2,81:0,571=4,92 уже третья значащая цифра не надежна. Ответ. 0,015. Пример 1.4. Вычислить относительную погрешность показаний вольтметра, включенного по схеме (рис. 1.3), которая получается, если предположить, что вольтметр имеет бесконечно большое сопротивление и не вносит искажений в измеряемую цепь. Классифицировать погрешность измерения для этой задачи.
рис. 1.3 Решение.
Обозначим показания реального вольтметра через И, а вольтметра с бесконечно большим сопротивлениемчерез И ∞ . Искомая относительная погрешность Заметим, что тогда получим Так как R И >>R и R > r, то дробь в знаменателе последнего равенства много меньше единицы. Поэтому можно воспользоваться приближенной формулой Чем больше сопротивление вольтметра по сравнению с внешним сопротивлением цепи, тем меньше погрешность. Но условие R< Ответ.
Погрешность систематическая методическая. Пример 1.5.
В цепь постоянного тока (рис.1.4) включены приборы: А – амперметр типа М 330 класса точности К А = 1,5 с пределом измерения I k = 20 А; А 1 – амперметр типа М 366 класса точности К А1 = 1,0 с пределом измерения I к1 = 7,5 А. Найти наибольшую возможную относительную погрешность измерения тока I 2 и возможные пределы его действительного значения, если приборы показали, что I=8,0А. и I 1 = 6,0А. Классифицировать измерение. рис. 1.4
Решение.
Определяем ток I 2
по показаниям прибора (без учета их погрешностей): I 2 =I-I 1 =8,0-6,0=2,0 А.
Найдем модули абсолютных погрешностей амперметров А и А 1 Для А
имеем равенство Найдем сумму модулей абсолютных погрешностей: Следовательно, наибольшая возможная и той же величины, выраженная в долях этой величины, равна 1 . 10 3 – для одного прибора; 2·10 3 – для другого прибора. Какой из этих приборов будет наиболее точным? Решение.
Точность прибора характеризуется значением, обратным погрешности (чем точнее прибор, тем меньше погрешность), т.е. для первого прибора это составит 1/(1 . 10 3) = 1000, для второго – 1/(2 . 10 3) = 500. Заметим, что 1000 > 500. Следовательно, первый прибор точнее второго в два раза. К аналогичному выводу можно прийти, проверив соответствие погрешностей: 2 . 10 3 / 1 . 10 3 = 2. Ответ.
Первый прибор в два раза точнее второго. Пример 1.6.
Найти сумму приближенных замеров прибора. Найти количество верных знаков: 0,0909 + 0,0833 + 0,0769 + 0.0714 + 0,0667 + 0.0625 + 0,0588+ 0,0556 + 0,0526. Решение.
Сложив все результаты замеров, получим 0,6187. Предельная наибольшая погрешность суммы 0,00005·9=0,00045. Значит, в последнем четвертом знаке суммы возможна ошибка до 5 единиц. Поэтому округляем сумму до третьего знака, т.е. тысячных, получаем 0,619 – результат, в котором все знаки верные. Ответ.
0,619. Количество верных знаков – три знака после запятой. Абсолютной погрешностью измерения
называется величина, определяемая разницей между результатом измерения x
и истинным значением измеряемой величины x
0: Δx
= |x
- x
0 |. Величина δ, равная отношению абсолютной погрешности измерения к результату измерения, называется относительной погрешностью: Пример 2.1.
Приближённым значением числа π является 3.14. Тогда погрешность его равна 0.00159. Абсолютную погрешность можно считать равной 0.0016, а относительную погрешность равной 0.0016/3.14 = 0.00051 = 0.051 %. Значащие цифры.
Если абсолютная погрешность величины a не превышает одной единицы разряда последней цифры числа a, то говорят, что у числа все знаки верные. Приближённые числа следует записывать, сохраняя только верные знаки. Если, например, абсолютная погрешность числа 52400 равна 100, то это число должно быть записано, например, в виде 524·10 2 или 0.524·10 5 . Оценить погрешность приближённого числа можно, указав, сколько верных значащих цифр оно содержит. При подсчёте значащих цифр не считаются нули с левой стороны числа. Например, число 0.0283 имеет три верных значащих цифры, а 2.5400 - пять верных значащих цифр. Правила округления чисел
. Если приближённое число содержит лишние (или неверные) знаки, то его следует округлить. При округлении возникает дополнительная погрешность, не превышающая половины единицы разряда последней значащей цифры (d
) округлённого числа. При округлении сохраняются только верные знаки; лишние знаки отбрасываются, причём если первая отбрасываемая цифра больше или равна d
/2, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу. Лишние цифры в целых числах заменяются нулями, а в десятичных дробях отбрасываются (как и лишние нули). Например, если погрешность измерения 0.001 мм, то результат 1.07005 округляется до 1.070. Если первая из изменяемых нулями и отбра-сываемых цифр меньше 5, остающиеся цифры не изменяются. Например, число 148935 с точностью измерения 50 имеет округление 148900. Если первая из заменяемых нулями или отбрасываемых цифр равна 5, а за ней не следует никаких цифр или идут нули, то округление производится до ближайшего чётного числа. Например, число 123.50 округляется до 124. Если первая из заменяемых нулями или отбрасываемых цифр больше 5 или равна 5, но за ней следует значащая цифра, то последняя остающаяся цифра увеличивается на единицу. Например, число 6783.6 округляется до 6784. Пример 2.2. При округлении числа 1284 до 1300 абсолютная погрешность составляет 1300 - 1284 = 16, а при округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет 1280 - 1284 = 4. Пример 2.3. При округлении числа 197 до 200 абсолютная погрешность составляет 200 - 197 = 3. Относительная погрешность равна 3/197 ≈ 0.01523 или приближённо 3/200 ≈ 1.5 %. Пример 2.4. Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе гирь наименьшая - 50 г. Взвешивание дало 3600 г. Это число - приближённое. Точный вес арбуза неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает 50 г. Относительная погрешность не превышает 50/3600 = 1.4 %. В качестве основных источников погрешности обычно рассматривают три вида ошибок. Это так называемые ошибки усечения, ошибки округления и ошибки распространения. Например, при использовании итерационных методов поиска корней нелинейных уравнений результаты являются приближёнными в отличие от прямых методов, дающих точное решение. Ошибки усечения
Этот вид ошибок связан с погрешностью, заложенной в самой задаче. Он может быть обусловлен неточностью определения исходных данных. Например, если в условии задачи заданы какие-либо размеры, то на практике для реальных объектов эти размеры известны всегда с некоторой точностью. То же самое касается любых других физических параметров. Сюда же можно отнести неточность расчётных формул и входящих в них числовых коэффициентов. Ошибки распространения
Данный вид ошибок связан с применением того или иного способа решения задачи. В ходе вычислений неизбежно происходит накопление или, иначе говоря, распространение ошибки. Помимо того, что сами исходные данные не являются точными, новая погрешность возникает при их перемножении, сложении и т. п. Накопление ошибки зависит от характера и количества арифметических действий, используемых в расчёте. Ошибки округления
Это тип ошибок связан с тем, что истинное значение числа не всегда точно сохраняется компьютером. При сохранении вещественного числа в памяти компьютера оно записывается в виде мантиссы и порядка примерно так же, как отображается число на калькуляторе.
Обновлено: 10.10.2019
103583
Если заметили ошибку, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter
Рубрики сайта
|
, то отсюда можно найти и абсолютную погрешность: 
, справедливой при λ≤1
для любого α
. Предположив, что в этой формуле α
= -1 и λ= rR (r+R) -1 R И -1
, получим δ ≈ rR/(r+R) R И
.
для амперметра 
