Развитие Функциональный анализ (математ.) происходило параллельно с развитием современной теоретической физики, при этом выяснилось, что язык Функциональный анализ (математ.) наиболее адекватно отражает закономерности квантовой механики, квантовой теории поля и т.п. В свою очередь эти физические теории оказали существенное влияние на проблематику и методы Функциональный анализ (математ.)
1. Возникновение функционального анализа. Функциональный анализ (математ.) как самостоятельный раздел математики сложился на рубеже 19 и 20 вв. Большую роль в формировании общих понятий Функциональный анализ (математ.) сыграла созданная Г. Кантором теория множеств. Развитие этой теории, а также аксиоматической геометрии привело к возникновению в работах М. Фреше и Ф. Хаусдорфа метрической и более общей т. н. теоретико-множественной топологии, изучающей абстрактные пространства, т. е. множества произвольных элементов, для которых установлено тем или иным способом понятие близости.
Среди абстрактных пространств для математического анализа и Функциональный анализ (математ.) оказались важными функциональные пространства (т. е. пространства, элементами которых являются функции - откуда и название «Функциональный анализ (математ.) »). В работах Д. Гильберта по углублению теории интегральных уравнений возникли пространства l 2 и L 2 (a , b ) (см. ниже). Обобщая эти пространства, Ф. Рис изучил пространства l p и L p (a , b ), а С. Банах в 1922 выделил полные линейные нормированные пространства (банаховы пространства). В 1930-40-х гг. в работах Т. Карлемана , Ф. Риса, американских математиков М. Стоуна и Дж. Неймана была построена абстрактная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве.
В СССР первые исследования по Функциональный анализ (математ.) появились в 30-х гг.: работы
А. Н. Колмогорова (1934) по теории линейных топологических пространств;
Н. Н. Боголюбова (1936) по инвариантным мерам в динамических системах;
Л. В. Канторовича (1937) и его учеников по теории полуупорядоченных пространств, применениям Функциональный анализ (математ.) к вычислительной математике и др.; М. Г. Крейна и его учеников (1938) по углублённому изучению геометрии банаховых пространств, выпуклых множеств и конусов в них, теории операторов и связей с различными проблемами классического математического анализа и др.; И. М. Гельфанда и его учеников (1940) по теории нормированных колец (банаховых алгебр) и др.
Для современного этапа развития Функциональный анализ (математ.) характерно усиление связей с теоретической физикой, а также с различными разделами классического анализа и алгебры, например теорией функций многих комплексных переменных, теорией дифференциальных уравнений с частными производными и т.п.
2. Понятие пространства. Наиболее общими пространствами, фигурирующими в Функциональный анализ (математ.) , являются линейные (векторные) топологические пространства, т. е. линейные пространства Х над полем комплексных чисел (или действительных чисел ), которые одновременно и топологические, причём линейные операции непрерывны в рассматриваемой топологии. Более частная, но очень важная ситуация возникает, когда в линейном пространстве Х можно ввести норму (длину) векторов, свойства которой являются обобщением свойств длины векторов в обычном евклидовом пространстве. Именно, нормой элемента x Î Х называется действительное число ||x || такое, что всегда ||x || ³ 0 и ||x || = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;
||lx || = |l| ||x ||, l Î x , если ||x n - x || 0.
В большом числе задач возникает ещё более частная ситуация, когда в линейном пространстве Х можно ввести скалярное произведение - обобщение обычного скалярного произведения в евклидовом пространстве. Именно, скалярным произведением элементов x , у Î Х называется комплексное число (x , у ) такое, что всегда (x , x ) ³ 0 и (x , x ) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;
, l, m Î является нормой элемента x
. Такое пространство называется предгильбертовым. Для конструкций Функциональный анализ (математ.)
важно, чтобы рассматриваемые пространства были полными (т. е. из того, что 
для x m
, x n
Î X,
следует существование предела , также являющегося элементом Х
). Полное линейное нормированное и полное предгильбертово пространства называются, соответственно, банаховым и гильбертовым. При этом известная процедура пополнения метрического пространства (аналогичная переходу от рациональных чисел к действительным) в случае линейного нормированного (предгильбертова) пространства приводит к банахову (гильбертову) пространству.
Обычное евклидово пространство
является одним из простейших примеров (действительного) гильбертова пространства
. Однако в Функциональный анализ (математ.)
играют основную роль бесконечномерные пространства, т. е. такие, в которых существует бесконечное число линейно независимых векторов. Вот примеры таких пространств, элементами которых являются классы комплекснозначных (т. е. со значениями в , норма ||x
|| = ; банахово пространство L p
(T
) всех суммируемых с р
-й (p
³ 1) степенью функций на Т
, норма 
; банахово пространство l p
всех последовательностей таких, что , здесь (множеству целых чисел), норма ||x
|| =(å|x j
| p
) 1/ p ; в случае p
= 2 пространства l 2
и L 2
(T
) гильбертовы, при этом, например, в L 2
(T
) скалярное произведение 
; линейное топологическое пространство D
(), состоящее из бесконечно дифференцируемых функций на , каждая из которых финитна [т. е. равна нулю вне некоторого интервала (а
, b
)]; при этом x n
x,
если x n
(t
) равномерно финитны [т. е. (а
, b
) не зависит от n
] и сходятся равномерно со всеми своими производными к соответствующим производным x
(t
).
Все эти пространства бесконечномерны, проще всего это видно для l 2 : векторы e j = {0,..., 0, 1, 0,...} линейно независимы.
С геометрической точки зрения наиболее простыми являются гильбертовы пространства Н , свойства которых больше всего напоминают свойства конечномерных евклидовых пространств. В частности, два вектора x , у Î Н называются ортогональными (x ^ y ), если (x , у ) = 0. Для любого x Î Н существует его проекция на произвольное подпространство - линейное замкнутое подмножество Н , т. е. такой вектор x , что x -x ^f для любого f Î . Благодаря этому факту большое количество геометрических конструкций, имеющих место в евклидовом пространстве, переносится на Н , где они часто приобретают аналитический характер. Так, например, обычная процедура ортогонализации приводит к существованию в Н ортонормированного базиса - последовательности векторов e j , j Î , из Н таких, что ||e j || = 1, e j ^ e k при j ¹ k , и для любого x Î справедливо «покоординатное» разложение
x = åx j e j (1)
где x j
= (x
, e j
), ||x
|| = å|x j
| 2 (для простоты Н
предполагается сепарабельным, т. е. в нём существует счётное всюду плотное множество). Если в качестве Н
взять L
2 (0, 2p) и положить , j
=...,-1, 0, 1..., то (1) даст разложение функции x
(t
) Î L
2 (0, 2p) в ряд Фурье, сходящийся в среднем квадратичном. Кроме того, соотношение (1) показывает, что соответствие между Н
и l
2 " {xj}
, j
Î гильбертовых пространств H j
- конструкция, подобная образованию Н
одномерными подпространствами, описываемому формулой (1); факторизация и пополнение: на исходном линейном пространстве Х
задаётся квазискалярное произведение [т. е. возможно равенство (x
, x
) = 0 для x
¹ 0], часто весьма экзотического характера, и Н
строится процедурой пополнения Х
относительно (.,.) после предварительного отождествления с 0 векторов x
, для которых (x
, x
) = 0; тензорное произведение - образование его аналогично переходу от функций одной переменной f
(x 1
) к функциям многих переменных f
(x 1
,..., x q
); проективный предел банаховых пространств - здесь (грубо говоря), если 
для каждого a; индуктивный предел банаховых пространств X 1
Ì X 2
Ì..., здесь , если все x j
, начиная с некоторого j 0
, лежат в одном X j0
, и в нём 
. Две последние процедуры обычно применяются для построения линейных топологических пространств. Таковы, например, ядерные пространства - проективный предел гильбертовых пространств Н
a , обладающих тем свойством, что для каждого a найдётся b такое, что h
b Ì Н
a , и это - т. н. вложение Гильберта - Шмидта .
Разработан важный раздел Ф, а., в котором изучаются пространства с конической структурой «x 0» (полуупорядоченностью). Пример такого пространства - действительное С (Т ), в нём считается x 0, если x (t ³)0 для всех t ÎT .
3. Операторы (общие понятия). Функционалы.
Пусть X
,
- линейные пространства; отображение A
: X
®
называется линейным, если для x
, у
Î X
, l, m Î 
,
где x 1 ,..., x n и (Ax ) 1 ,..., (Ax ) n - координаты векторов x и Ax соответственно. При переходе к бесконечномерным линейным топологическим пространствам положение значительно усложняется. Здесь прежде всего необходимо различать непрерывные и разрывные линейные операторы (для конечномерных пространств они всегда непрерывны). Так, действующий из пространства L 2 (а , b ) в него же оператор
(2)
(где (t , s ) - ограниченная функция - ядро А ) - непрерывен, в то время как определённый на подпространстве 1 (a , b ) Ì L 2 (a , b ) оператор дифференцирования
(3)
является разрывным (вообще, характерной особенностью разрывных операторов является то, что они не определены на всём пространстве).
Непрерывный оператор A : X ® , где X , - банаховы пространства, характеризуется тем, что
,
поэтому его называют также ограниченным. Совокупность всех ограниченных операторов (X , ) относительно обычных алгебраических операций образует банахово пространство с нормой ||A ||. Свойства , если для каждого x Î X ], относительно которой шар, т. е. множество точек x Î Х таких, что ||x || £ r , уже будет компактным (такого эффекта никогда не будет в бесконечномерном пространстве относительно топологии, порождаемой нормой). Это позволяет более детально изучить ряд геометрических вопросов для множеств из X" , например установить структуру произвольного компактного выпуклого множества как замкнутой оболочки своих крайних точек (теорема Крейна - Мильмана).
Важной задачей Функциональный анализ (математ.)
является отыскание общего вида функционалов для конкретных пространств. В ряде случаев (помимо гильбертова пространства) это удаётся сделать, например (l p
)¢, p
> 1, состоит из функций вида åx j e j
, где , . Однако для большинства банаховых (и в особенности линейных топологических) пространств функционалы будут элементами новой природы, не конструирующимися просто средствами классического анализа. Так, например, при фиксированных t 0
и m
на пространстве D
() определён функционал 
. В случае m
= 0 его ещё можно записать «классическим» образом - при помощи интеграла, однако при m
³ 1 это уже невозможно. Элементы из (D
())¢ называются обобщёнными функциями
(распределениями). Обобщённые функции как элементы сопряжённого пространства можно строить и тогда, когда D
() заменено другим пространством Ф, состоящим как из бесконечно, так и конечное число раз дифференцируемых функций; при этом существенную роль играют тройки пространств Ф" É Н
É Ф, где Н
- исходное гильбертово пространство, а Ф - линейное топологическое (в частности, гильбертово с др. скалярным произведением) пространство, например
Ф = l 2 (T ).
Дифференциальный оператор D
, фигурирующий в (3), будет непрерывным, если его понимать действующим в L 2
[a
, b
] из пространства 1
[a
, b
], снабженного нормой 
, Однако для многих задач, и прежде всего для спектральной теории, такие дифференциальные операторы необходимо интерпретировать как действующие в одном и том же пространстве. Эти и другие близкие задачи привели к построению общей теории неограниченных, в частности неограниченных самосопряжённых, и эрмитовых операторов.
4. Специальные классы операторов. Спектральная теория. Многие задачи приводят к необходимости изучать разрешимость уравнения вида Cx = y , где С - некоторый оператор, у Î - заданный, а x Î Х - искомый векторы. Например, если Х = = L 2 (а , b ), С = Е - А , где А - оператор из (2), а Е - тождественный оператор, то получается интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода; если С - дифференциальный оператор, то получается дифференциальное уравнение, и т.п. Однако здесь нельзя рассчитывать на достаточно полную аналогию с линейной алгеброй, не ограничивая класс рассматриваемых операторов. Одним из важнейших классов операторов, наиболее близких к конечномерному случаю, являются компактные (вполне непрерывные) операторы, характеризующиеся тем, что переводят каждое ограниченное множество из Х в множество из , замыкание которого компактно [таков, например, оператор А из (2)]. Для компактных операторов построена теория разрешимости уравнения x - Ax = у , вполне аналогичная конечномерному случаю (и содержащая, в частности, теорию упомянутых интегральных уравнений) (Ф. Рис).
В разнообразных задачах математической физики возникает т. н. задача на собственные значения : для некоторого оператора А : Х ® Х требуется выяснить возможность нахождения решения j ¹ 0 (собственного вектора ) уравнения А j = lj при некотором l Î l j x j e j , (4)
где l j , - собственное значение, отвечающее e j . Для конечномерного Х вопрос о таком представлении полностью выяснен, при этом в случае кратных собственных значений для получения базиса в Х нужно, вообще говоря, добавить к собственным т. н. присоединённые векторы. Набор SpA собственных значений в этом случае называется спектром А .
Первое перенесение этой картины на бесконечномерный случай было дано для интегральных операторов типа А из (2) с симметричным ядром [т. е. K (t , s ) = K (s , t ) и действительно] (Д. Гильберт). Затем подобная теория была развита для общих компактных самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве. Однако при переходе к простейшим некомпактным операторам возникли трудности, связанные с. самим определением спектра. Так, ограниченный оператор в L 2 [a , b ]
(Tx )(t ) = tx (t ) (5)
не имеет собственных значений. Поэтому определение спектра было пересмотрено, обобщено и выглядит сейчас следующим образом.
Пусть Х - банахово пространство, А Î - многочлен, то f (A ) = (степень оператора понимается как последовательное его применение). Однако если f (z ) - аналитическая функция, то так прямо понимать f (A ) уже не всегда возможно; в этом случае f (A ) определяется следующей формулой, если f (z ) аналитична в окрестности SpA, а Г - контур, охватывающий SpA и лежащий в области аналитичности f (z ):
. (6)
При этом алгебраические операции над функциями переходят в аналогичные операции над операторами [т. е. отображение f (z ) ® f (A ) - гомоморфизм]. Эти конструкции не дают возможности выяснить, например, вопросы полноты собственных и присоединённых векторов для общих операторов, однако для самосопряжённых операторов, представляющих основной интерес, например, для квантовой механики, подобная теория полностью разработана.
Пусть Н - гильбертово пространство. Ограниченный оператор А : Н ® Н называется самосопряжённым, если (Ax , у ) = (x , Ау ) (в случае неограниченного А определение более сложно). Если Н n -мерно, то в нём существует ортонормированный базис собственных векторов самосопряжённого оператора А ; другими словами, имеют место разложения:
, 
, (7)
где (l j ) - оператор проектирования (проектор) на подпространство, натянутое на все собственные векторы оператора А , отвечающие одному и тому же собственному значению l j .
Оказывается, что эти формулы могут быть обобщены на произвольный самосопряжённый оператор из Н , только сами проекторы (l j ) могут не существовать, поскольку могут отсутствовать и собственные векторы [таков, например, оператор Т в (5)]. В формулах (7) суммы заменяются теперь интегралами Стилтьеса по неубывающей операторнозначной функции Е (l) [которая в конечномерном случае равна ], называется разложением единицы, или спектральной (проекторной) мерой, точки роста которой совпадают со спектром Sp А . Если привлечь обобщённые функции, то формулы типа (7) сохраняются. Именно, если имеется тройка Ф" É Н É Ф , где Ф, например, ядерно, причём А переводит Ф в Ф¢ и непрерывно, то соотношения (7) имеют место, только суммы переходят в интегралы по некоторой скалярной мере, а Е (l) теперь «проектирует» Ф в Ф¢, давая векторы из Ф¢, которые будут собственными в обобщённом смысле для А с собственным значением l. Аналогичные результаты справедливы для т. н. нормальных операторов (т. е. коммутирующих со своими сопряжёнными). Например, они верны для унитарных операторов - таких ограниченных операторов, которые отображают всё Н на всё Н и сохраняют при этом скалярное произведение. Для них спектр Sp расположен на окружности |z | = 1, вдоль которой и производится интегрирование в аналогах формул (6). См. также Спектральный анализ линейных операторов.
5. Нелинейный функциональный анализ. Одновременно с развитием и углублением понятия пространства шло развитие и обобщение понятия функции. В конечном счёте оказалось необходимым рассматривать отображения (не обязательно линейные) одного пространства в другое (часто - в исходное). Одной из центральных задач нелинейного Функциональный анализ (математ.) является изучение таких отображений. Как и в линейном случае, отображение пространства в ) называется функционалом. Для нелинейных отображений (в частности, нелинейных функционалов) можно различными способами определить дифференциал, производную по направлению и т.д. аналогично соответствующим понятиям классического анализа. Выделение из отображения квадратичного и т.д. членов приводит к формуле, аналогичной формуле Тейлора.
Важной задачей нелинейного Функциональный анализ (математ.) является задача отыскания неподвижных точек отображения (точка x называется неподвижной для отображения , если Fx = x ). К отысканию неподвижных точек сводятся многие задачи о разрешимости операторных уравнений, а также задачи отыскания собственных значений и собственных векторов нелинейных операторов. При решении уравнений с нелинейными операторами, содержащими параметр, возникает существенное для нелинейного Функциональный анализ (математ.) явление - т. н. точки ветвления (решений).
При исследовании неподвижных точек и точек ветвления используются топологические методы: обобщения на бесконечномерные пространства теоремы Брауэра о существовании неподвижных точек отображений конечномерных пространств, степени отображений и т.п. Топологические методы Функциональный анализ (математ.) развивались польским математиком Ю. Шаудером, французским математиком Ж. Лере, советскими математиками М. А. Красносельским, Л. А. Люстерником и др.
6. Банаховы алгебры. Теория представлений. На ранних этапах развития Функциональный анализ (математ.) изучались задачи, для постановки и решения которых необходимы были лишь линейные операции над элементами пространства. Исключение составляют, пожалуй, только теория колец операторов (факторов) (Дж. Нейман, 1929) и теория абсолютно сходящихся рядов Фурье (Н. Винер , 1936). В конце 30-x гг. в работах японского математика М. Нагумо, советских математиков И. М, Гельфанда, Г. Е. Шилова, М. А. Наймарка и др. стала развиваться теория т. н. нормированных колец (современное название - банаховы алгебры), в которой, кроме операций линейного пространства, аксиоматизируется операция умножения (причём ||xy || £ ||x || ||y ||). Типичными представителями банаховых алгебр являются кольца ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве Х (умножение в нём - последовательное применение операторов - необходимо с учётом порядка), различного рода функциональные пространства, например c - мера Хаара на группе характеров , а
,
Обобщённое преобразование Фурье функций f (g ) и k (g ), которое продолжается до изоморфизма L 2 (G , dg ) в L 2 (, dc). Для некоммутативных групп ситуация во многом усложняется. Если G компактна, то представление группы операторов сдвига (или, короче, группы сдвигов) удаётся хорошо описать; в этом случае L 2 (G , dg ) распадается в прямую сумму конечномерных инвариантных относительно сдвигов подпространств. Если G некомпактна, то также получается разложение L 2 (G , dg ) на более простые инвариантные части, но уже не в прямую сумму, а в прямой интеграл.
Если G = , то теория унитарных представлений может быть сведена к теории самосопряжённых операторов. Именно, однопараметрическая группа унитарных операторов Т l , l Î в гильбертовом пространстве Н допускает представление Т l = exp i lA , где А - самосопряжённый оператор (теорема Стоун а); оператор А называется инфинитезимальным оператором (генератором) группы {Т" l }. Этот результат находит важные применения в изучении преобразований фазового пространства классической механики. Эта связь, а также приложения в статистической физике лежат в основе обширной ветви Функциональный анализ (математ.) - эргодической теории . Связь между однопараметрическими группами преобразований и их генераторами допускает значительные обобщения: операторы T l не обязаны быть унитарными, могут действовать в банаховых и более общих пространствах и даже быть определёнными лишь для l ³ 0 (т. н. теория полугрупп операторов). Этот раздел Функциональный анализ (математ.) имеет приложения в теории дифференциальных уравнений с частными производными и теории случайных (именно марковских) процессов.
Лит.: Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа 4 изд., М., 1976; Ахиезер Н. И., Глазман И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 1966; Вулих Б. З., Введение в теорию полуупорядоченных пространств, М., 1961; Банах С. С., Курс функцioнального аналiзу Киïв, 1948; Рисс Ф., Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., М., 1954; Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Л., 1950; Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ в нормированных пространствах, М., 1959; Красносельский М. А., Забрейко П. П., Геометрические методы нелинейного анализа, М., 1975; Наймарк М. А., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968; Рудин У., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1975; Иосида К., Функциональный анализ, пер, с англ., М., 1967; Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, пер. с англ., ч. 1-3, М., 1962-74; Хилле Э., Филлипс Р., Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., 2 изд., М., 1962; Эдвардс Р. Э., Функциональный анализ. Теория и приложения пер с англ., М., 1969.
Ю. М. Березанский, Б. М. Левитан.
Статья про слово "Функциональный анализ (математ.) " в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 6485 раз
ОК-1 владение культурой мышления, способность к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения, умение логически верно, аргументированно и ясно строить устную и письменную речь
ОК-2 готовность к кооперации с коллегами, работе в коллективе; знание принципов и методы организации и управления малыми коллективами; способность находить организационно-управленческие решения в нестандартных ситуациях и готов нести за них ответственность
ПК-25 способность обосновывать правильность выбранной модели, сопоставляя результаты экспериментальных данных и полученных решений
ПК-26 готовность использовать математические методы обработки, анализа и синтеза результатов профессиональных исследований
1.3. Планируемые результаты освоения дисциплины
знания: по функциональному подходу к исследованию задач системного анализа и задач управления на основе современных математических технологий, моделям и методов представления математических моделей в функциональных пространствах с операторами, сохраняющими эти пространства, а также по приложениям м етодов для решении сложных научных и инженерных задач, методам решения задач с доказательствами сходимости решений;
умения: правильно и конструктивно выбирать и примнять методы для решения инженерной и научных задач с использованием знаний в области функционального анализа, разрабатывать базы знаний, соответствующие методам и моделям функционального анализа, выбирать и использовать пакеты прикладных программ.
навыки: формализации задач, выбора и конструирования необходимых типов алгебраических структур и их использования для решения интеллектуальных задач.
2. Место дисциплины в ООП
Дисциплина «Введение в функциональный анализ» согласно федеральному ГОС направления подготовки 230400 «Информационные системы и технологии» (квалификация: бакалавр) является дисциплиной учебного цикла ().
Изучение дисциплины «Введение в функциональный анализ» базируется на результатах освоения следующих дисциплин:
Результаты изучения дисциплины «Введение в функциональный анализ» используются при изучении следующих дисциплин:
3. Распределение трудоёмкости освоения дисциплины по видам учебной работы
3.1. Виды учебной работы
Виды учебной работы | Трудоемкость |
Стр. 2 из 7 | 01.04.2012 22:25 |
Лабораторные занятия | ||||||||||||||
Практические занятия, семинары | ||||||||||||||
в том числе аудиторные занятия в интерактивной форме | ||||||||||||||
Самостоятельная работа | ||||||||||||||
в том числе творческая проблемно-ориентированная самостоятельная | ||||||||||||||
Экзамены (подготовка во время сессии, сдача) | ||||||||||||||
Общая трудоемкость освоения дисциплины | в академических часах: | |||||||||||||
в зачетных единицах: | ||||||||||||||
3.2. Формы контроля | ||||||||||||||
Формы контроля | Количество | |||||||||||||
Текущий контроль | ||||||||||||||
Контрольные работы (КРаб), шт. | ||||||||||||||
Коллоквиумы (Кк), шт. | ||||||||||||||
Расчетно графические работы (РГР), шт. | ||||||||||||||
Рефераты (Реф), шт. | ||||||||||||||
Курсовые проекты (КП), шт. | ||||||||||||||
Курсовые работы (КР), шт. | ||||||||||||||
Промежуточная аттестация | ||||||||||||||
Зачёты (З), шт. | ||||||||||||||
Экзамены (Э), шт. | ||||||||||||||
4.1. Разделы дисциплины и виды учебной работы | ||||||||||||||
Конечномерное евклидово пространство | ||||||||||||||
Бесконечномерное евклидово пространство | ||||||||||||||
Метрические пространства | ||||||||||||||
Метрические пространства | ||||||||||||||
Непрерывные операторы в метрических пространствах | ||||||||||||||
Нормированные пространства | ||||||||||||||
Нормированные пространства | ||||||||||||||
Гильбертово пространство | ||||||||||||||
Гильбертово пространство | ||||||||||||||
Пространство L2 | ||||||||||||||
Стр. 3 из 7 | 01.04.2012 22:25 |
Rich text editor, text_content, press ALT 0 for help. | http://license.stu.neva.ru/programs/print/printprograms_code.php |
Пространство L2 | |||||||||||
Линейные операторы | |||||||||||
Линейные операторы | |||||||||||
Итого по видам учебной работы, ач | |||||||||||
Итого по видам учебной работы, зет | |||||||||||
Общая трудоемкость освоения, ач / зет | |||||||||||
Темы, разделы | Результаты освоения |
||||||||||
дисциплины |
|||||||||||
1. Конечномерное евклидово пространство | |||||||||||
1.1. Конечномерное евклидово пространство | Знания, умения на уровне |
||||||||||
Понятие пространства в математике. | понятий, определений, |
||||||||||
векторное | пространство. Норма вектора. | Скалярное | описаний, формулировок, |
||||||||
произведение векторов. Линейные преобразования. | |||||||||||
Матрицы. Норма оператора линейного преобразования. | |||||||||||
2. Бесконечномерное евклидово пространство | |||||||||||
2.1. Бесконечномерное евклидово пространство | Знания, умения на уровне |
||||||||||
Векторы с бесконечным множеством координат. | понятий, определений, |
||||||||||
Пространство L2. | Сходимость | последовательности | описаний, формулировок, |
||||||||
векторов. | Непрерывность | скалярного | |||||||||
произведения. Линейные | функционалы. Линейные | ||||||||||
операторы. | |||||||||||
3. Метрические пространства | |||||||||||
3.1. Метрические пространства | Знания, умения на уровне |
||||||||||
Понятия теории множеств. Определение метрического | понятий, определений, |
||||||||||
пространства. Сходимость в метрическом пространстве. | описаний, формулировок, |
||||||||||
Замкнутые и открытые множества. Полные метрические | |||||||||||
пространства. Счетные множества. | |||||||||||
4. Непрерывные операторы в метрических пространствах
4.1. Непрерывные операторы в метрических Знания, умения на уровне
пространствах | понятий, определений, |
||||
Основные определения. Непрерывные операторы и описаний, формулировок, |
|||||
функционалы. | Неподвижные | Метод умений. |
|||
последовательных приближений. Операторы сжатия. | |||||
Интегральные уравнения. Теорема Пеано. | |||||
5. Нормированные пространства | |||||
5.1. Нормированные пространства | Знания, умения на уровне |
||||
Линейные системы. Нормированные пространства. | понятий, определений, |
||||
Конечномерные пространства. Подпространства. Задача о | описаний, формулировок, |
||||
наилучшем приближении. Пространства со | |||||
6. Гильбертово пространство | |||||
6.1. Гильбертово пространство | Знания, умения на уровне |
||||
Скалярное произведение. Определение гильбертова | понятий, определений, |
||||
Основные | свойства | пространства | Скалярное | понятий, определений, |
|
произведение. | Ортогональные | описаний, формулировок, |
|||
последовательных приближений для интегрального | |||||
уравнения Фредгольма. Среднее значение функции. | |||||
8. Линейные операторы | |||||
8.1. Линейные операторы | Знания, умения на уровне |
||||
Аддитивные операторы. Линейные операторы. | понятий, определений, |
||||
Ограниченность | линейных | операторов. | Распространение | описаний, формулировок, |
|
линейных операторов. Пространство линейных операторов. | |||||
Обратные операторы. Матричные линейные операторы. | |||||
5. Образовательные технологии
В преподавании курса используются преимущественно традиционные образовательные технологии:
– лекции,
– практические занятия.
Занятия в активной и интерактивной формах
Не предусмотрены.
6. Лабораторный практикум
"Не предусмотрен"
7. Практические занятия
Программой предусмотрены следующие практические занятия:
1. Евклидовы пространства.
2. Нормированные пространства.
3. Гильбертовы пространства.
4. Линейные операторы.
5. Обратные операторы.
8. Организация и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
СРС направлена на закрепление и углубление освоения учебного материала, развитие практических умений. СРС включает следующие виды самостоятельной работы студентов:
Примерное распределение времени самостоятельной работы студентов.
Примерная Вид самостоятельной работы трудоёмкость,
Текущая СРС
Примерное распределение времени самостоятельной работы студентов
Примерная Вид самостоятельной работы трудоемкость,
Текущая СРС
9. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
9.1. Адрес сайта курса saiu.ftk.spbstu.ru
Основная литература
9.3. Технические средства обеспечения дисциплины
"не предусмотрены"
10. Материально-техническое обеспечение дисциплины
"не предусмотрены"
11. Критерии оценивания и оценочные средства
11.1. Критерии оценивания
1. Для оценки знаний по дисциплине в случае ответов по билетам (два вопроса в билете):
1.1. В случае правильного ответа на один вопрос по билету - оценка "Удовлетворительно".
1.2. В случае правильного ответа на два вопроса по билету плюс один дополнительный вопрос по темам конспекта - оценка "Хорошо".
1.3. В случае правильного ответа надва вопроса по билету и ответа на два и более, по решению преподавателя, дополнительных вопроса по темам конспекта - оценка "Отлично".
1.4. В остальных случаях - оценка "Неудовлетворительно".
11.2. Оценочные средства
Список экзаменационных вопросов по дисциплине "Введение в функциональный
Стр. 6 из 7 | 01.04.2012 22:25 |
Rich text editor, text_content, press ALT 0 for help. | http://license.stu.neva.ru/programs/print/printprograms_code.php |
1. Понятие пространства в математике. n-мерное векторное пространство.
2. Норма вектора. Скалярное произведение векторов.
3. Линейные преобразования. Матрицы.
4. Норма оператора линейного преобразования.
5. Векторы с бесконечным множеством координат.
6. Пространство L2. Сходимость последовательности векторов.
7. Непрерывность нормы и скалярного произведения.
8. Линейные функционалы. Линейные операторы.
9. Понятия теории множеств.
10. Определение метрического пространства.
11. Сходимость в метрическом пространстве.
12. Замкнутые и открытые множества.
13. Полные метрические пространства. Счетные множества.
14. Непрерывные операторы и функционалы.
15. Неподвижные точки. Метод последовательных приближений.
16. Операторы сжатия. Интегральные уравнения.
17. Теорема Пеано.
18. Линейные системы. Нормированные пространства.
19. Конечномерные пространства. Подпространства.
20. Задача о наилучшем приближении.
21. Пространства со счетным базисом.
22. Скалярное произведение. Определение гильбертова пространства.
23. Понятие ортогональности. Проекция элемента на подпространство.
24. Ортогональные разложения гильбертова пространства. Ортогональные системы элементов.
25. Основные свойства пространства L2.
26. Ортогональные ряды. Метод последовательных приближений для интегрального уравнения Фредгольма.
27. Среднее значение функции.
28. Аддитивные операторы.
29 Ограниченность линейных операторов. Распространение линейных операторов.
30. Пространство линейных операторов.
31. Обратные операторы. Матричные линейные операторы.
Особенностью учебного процесса по дисциплине «Введение в функциональный анализ» является необходимость получения студентами значительной части необходимой информации при спользовании учебно-методической и справочной литературы в процессе самостоятельной работы над практическими заданиями.
Функциональный анализ
Функциональный анализ - раздел высшей математики , в котором изучаются бесконечномерные топологические векторные пространства (в основном пространства функций ) и их отображения.
Основные разделы классического функционального анализа - это теория меры и интеграла, теория функций, теория операторов, дифференциальное исчисление на бесконечномерных пространствах. Во второй половине 20 века функциональный анализ пополнился целым рядом более специальных разделов, построенных на базе классических.
Функциональный анализ находит применение во многих точных науках; многие важнейшие теоретические конструкции описаны языком функционального анализа. В частности, в начале 21 века функциональный анализ широко применяется в теории дифференциальных уравнений , математической физике, теоретической физике (см. квантовая механика , теория струн), теории управления и оптимизации , теории вероятностей , математической статистике , теории случайных процессов и других областях. Теория преобразования Фурье , используемая во многих областях науки и техники (например, в теории обработки изображений), также является частью функционального анализа.
Образно функциональный анализ естественно рассматривать как обобщение соединённых вместе линейной алгебры и математического анализа.
Развитие функционального анализа связано с изучением преобразования Фурье, дифференциальных и интегральных уравнений . Большой вклад в развитие и становление функционального анализа внёс польский математик Стефан Банах .
Изучение представления функций с помощью преобразования Фурье было привлекательно, к примеру, потому, что для определённых классов функций можно континуальный набор точек (значения функции) охарактеризовать счётным набором значений (набором коэффициентов).
Методы функционального анализа быстро приобрели популярность в различных областях математики и физики в качестве мощного инструмента. Значительную роль при этом сыграла теория линейных операторов :
| Функциональный анализ за последние два десятилетия настолько разросся, настолько широко и глубоко проник почти во все области математики, что сейчас даже трудно определить самый предмет этой дисциплины. Однако в функциональном анализе есть несколько больших «традиционных» направлений, которые и поныне в значительной степени определяют его лицо. К их числу принадлежит и теория линейных операторов, которую иногда называют становым хребтом функционального анализа.
Именно через теорию операторов функциональный анализ столкнулся с квантовой механикой , дифференциальными уравнениями, теорией вероятности, а также рядом прикладных дисциплин. |
В конце 90-x годов XX в. в копилку функционального анализа добавилась тема, посвящённая вейвлет -преобразованиям. Эта тема пришла из практики как попытка построений новых базисов функциональных пространств, обладающих дополнительными свойствами, к примеру, хорошей скоростью сходимости приближений. Вклад в развитие внесла И. Добеши .
Числовые функции на пространствах функций называют функционалами. Возможно, с этим обстоятельством связано возникновение термина «функциональный анализ». Так, в классической механике для нахождения траектории движения частицы требуется исследовать на минимум функционал действия, для чего его приходится дифференцировать; а поскольку под термином «анализ» в математике понимается интегральное и дифференциальное исчисление, то естественно предположить, что нахождение экстремали функционала действия - одна из первейших задач, давших функциональному анализу его имя.
Функциональный анализ в его современном состоянии включает следующие тенденции:
Wikimedia Foundation . 2010 .
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ - один из основных разделов современной математики. Возник в результате взаимного влияния, объединения и обобщения идей и методов многих разделов классического математического анализа, алгебры, геометрии. Характеризуется использованием понятий,… … Большой Энциклопедический словарь
функциональный анализ - сущ., кол во синонимов: 1 функан (2) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов
функциональный анализ - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN function analysis … Справочник технического переводчика
Функциональный анализ - I Функциональный анализ часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание… … Большая советская энциклопедия
Функциональный анализ - разновидность анализа, характеризующегося как метод выявления функций рассматриваемого объекта и изучение их влияний на другие объекты. Функциональный анализ применим лишь к тем явлениям, которым приписываются функции, например, общественные… … Основы духовной культуры (энциклопедический словарь педагога)
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ - 1. Вообще – анализ сложной системы, при котором основное значение уделяется функциям различных аспектов системы и способу интеграционного оперирования. Такой анализ обычно преуменьшает значение фактической формы или структуры. Анализируемой… … Толковый словарь по психологии
I
Функциона́льный ана́лиз
часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание методов классического анализа, топологии и алгебры. Абстрагируясь от конкретных ситуаций, удаётся выделить аксиомы и на их основе построить теории, включающие в себя классические задачи как частный случай и дающие возможность решать новые задачи. Сам процесс абстрагирования имеет самостоятельное значение, проясняя ситуацию, отбрасывая лишнее и открывая неожиданные связи. В результате удаётся глубже проникнуть в сущность математических понятий и проложить новые пути исследования. Развитие Ф. а. происходило параллельно с развитием современной теоретической физики, при этом выяснилось, что язык Ф. а. наиболее адекватно отражает закономерности квантовой механики, квантовой теории поля и т.п. В свою очередь эти физические теории оказали существенное влияние на проблематику и методы Ф. а. 1. Возникновение функционального анализа.
Ф. а. как самостоятельный раздел математики сложился на рубеже 19 и 20 вв. Большую роль в формировании общих понятий Ф. а. сыграла созданная Г. Кантором теория множеств. Развитие этой теории, а также аксиоматической геометрии привело к возникновению в работах М. Фреше и Ф. Хаусдорфа метрической и более общей т. н. теоретико-множественной топологии, изучающей абстрактные пространства, т. е. множества произвольных элементов, для которых установлено тем или иным способом понятие близости. Среди абстрактных пространств для математического анализа и Ф. а. оказались важными функциональные пространства (т. е. пространства, элементами которых являются функции - откуда и название «Ф. а.»). В работах Д. Гильберта по углублению теории интегральных уравнений возникли пространства l 2
и L 2
(a
, b
) (см. ниже). Обобщая эти пространства, Ф. Рис изучил пространства l p
и L p
(a
, b
), а С. Банах в 1922 выделил полные линейные нормированные пространства (банаховы пространства). В 1930-40-х гг. в работах Т. Карлемана, Ф. Риса, американских математиков М. Стоуна и Дж. Неймана была построена абстрактная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве. В СССР первые исследования по Ф. а. появились в 30-х гг.: работы А. Н. Колмогорова (1934) по теории линейных топологических пространств; Н. Н. Боголюбова (1936) по инвариантным мерам в динамических системах; Л. В. Канторовича (1937) и его учеников по теории полуупорядоченных пространств, применениям Ф. а. к вычислительной математике и др.; М. Г. Крейна и его учеников (1938) по углублённому изучению геометрии банаховых пространств, выпуклых множеств и конусов в них, теории операторов и связей с различными проблемами классического математического анализа и др.; И. М. Гельфанда и его учеников (1940) по теории нормированных колец (банаховых алгебр) и др. Для современного этапа развития Ф. а. характерно усиление связей с теоретической физикой, а также с различными разделами классического анализа и алгебры, например теорией функций многих комплексных переменных, теорией дифференциальных уравнений с частными производными и т.п. 2. Понятие пространства.
Наиболее общими пространствами, фигурирующими в Ф. а., являются линейные (векторные) топологические пространства, т. е. линейные пространства (См. Линейное пространство) Х
над полем комплексных чисел Х можно ввести норму (длину) векторов, свойства которой являются обобщением свойств длины векторов в обычном евклидовом пространстве. Именно, нормой элемента x
∈ Х
называется действительное число ||x
|| такое, что всегда ||x
|| ≥ 0 и ||x
|| = 0 тогда и только тогда, когда x
= 0; ||λx
|| = |λ| ||x
||, λ ∈ ||x
+ y
|| ≤ ||x
|| + ||y
||. Такое пространство называется линейным нормированным; топология в нём вводится при помощи метрики dist (x
, у
) = ||x
- у
|| (т. о. считается, что последовательность x n
x, если ||x n
- x
|| В большом числе задач возникает ещё более частная ситуация, когда в линейном пространстве Х
можно ввести скалярное произведение - обобщение обычного скалярного произведения в евклидовом пространстве. Именно, скалярным произведением элементов x
, у
∈ Х
называется комплексное число (x
, у
) такое, что всегда (x
, x
) ≥ 0 и (x
, x
) = 0 тогда и только тогда, когда x
= 0; При этом x. Такое пространство называется предгильбертовым. Для конструкций Ф. а. важно, чтобы рассматриваемые пространства были полными (т. е. из того, что Обычное Евклидово пространство является одним из простейших примеров (действительного) гильбертова пространства (См. Гильбертово пространство). Однако в Ф. а. играют основную роль бесконечномерные пространства, т. е. такие, в которых существует бесконечное число линейно независимых векторов. Вот примеры таких пространств, элементами которых являются классы комплекснозначных (т. е. со значениями в x (t
), определённых на некотором множестве Т
, с обычными алгебраическими операциями [т. e
.(x
+ y
)(t
) = x
(t
) + y
(t
), (λx
)(t
) = λx
(t
)] Банахово пространство С
(Т
) всех непрерывных функций, Т
- компактное подмножество n-
мерного пространства x|| = L p (T
) всех суммируемых с р
-й (p
≥ 1) степенью функций на Т
, норма Все эти пространства бесконечномерны, проще всего это видно для l 2
: векторы e j
= {0,..., 0, 1, 0,...} линейно независимы. С геометрической точки зрения наиболее простыми являются гильбертовы пространства Н
, свойства которых больше всего напоминают свойства конечномерных евклидовых пространств. В частности, два вектора x
, у
∈ Н
называются ортогональными (x
⊥ y
), если (x
, у
) = 0. Для любого x
∈ Н
существует его проекция на произвольное подпространство F
- линейное замкнутое подмножество Н
, т. е. такой вектор x F
, что x
-x F
⊥f
для любого f
∈ F
. Благодаря этому факту большое количество геометрических конструкций, имеющих место в евклидовом пространстве, переносится на Н
, где они часто приобретают аналитический характер. Так, например, обычная процедура ортогонализации приводит к существованию в Н
ортонормированного базиса - последовательности векторов e j
, j
∈ Н таких, что ||e j
|| = 1, e j
⊥ e k
при j
≠ k
, и для любого x
∈ H
справедливо «покоординатное» разложение x
= ∑x j e j
(1) где x j
= (x
, e j
), ||x
|| = ∑x j | 2 (для простоты Н
предполагается сепарабельным, т. е. в нём существует счётное всюду плотное множество). Если в качестве Н
взять L
2 (0, 2π) и положить j =...,-1, 0, 1..., то (1) даст разложение функции x
(t
) ∈ L
2 (0, 2π) в ряд Фурье, сходящийся в среднем квадратичном. Кроме того, соотношение (1) показывает, что соответствие между Н
и l
2 ∋ {xj}
, j
∈ Подобные геометрические вопросы резко усложняются при переходе от гильбертовых к банаховым и тем более линейным топологическим пространствам в связи с невозможностью ортогонального проектирования в них. Например, «проблема базиса». Векторы e
, образуют базис в l p
в смысле справедливости разложения (1). Базисы построены в большинстве известных примеров банаховых пространств, однако проблема (С. Банаха - Ю. Шаудера) существования базиса в каждом сепарабельном банаховом пространстве не поддавалась решению более 50 лет и лишь в 1972 была решена отрицательно. В Ф. а. важное место занимает подобная «геометрическая» тематика, посвященная выяснению свойств различных множеств в банаховых и др. пространствах, например выпуклых, компактных и т.д. Здесь часто просто формулируемые вопросы имеют весьма нетривиальные решения. Эта тематика тесно связана с изучением изоморфизма пространств, с нахождением универсальных (подобно l
2) представителей в том или ином классе пространств и т.п. Большой раздел Ф. а. посвящен детальному изучению конкретных пространств, т.к. их свойства обычно определяют характер решения задачи, получаемой методами Ф. а. Типичный пример - теоремы вложения для т. н. пространств С. Л. Соболева и их обобщений: простейшее такое пространство W l p
(T
), p
≥ 1, l
= 0, 1, 2,..., определяется как пополнение пространства бесконечно дифференцируемых в Т
функций x
(t
) относительно нормы ∑||D
α x
|| в L p
(T
), где сумма распространяется на все производные D
α до порядка ≤ l
. В этих теоремах выясняется вопрос о характере гладкости элементов пространства, получаемых процедурой пополнения. В связи с запросами математической физики в Ф. а. возникло большое число конкретных пространств, строящихся из известных ранее при помощи определённых конструкций. Наиболее важные из них: ортогональная сумма H j - конструкция, подобная образованию Н
одномерными подпространствами, описываемому формулой (1); факторизация и пополнение: на исходном линейном пространстве Х
задаётся квазискалярное произведение [т. е. возможно равенство (x
, x
) = 0 для x
≠ 0], часто весьма экзотического характера, и Н
строится процедурой пополнения Х
относительно (.,.) после предварительного отождествления с 0 векторов x
, для которых (x
, x
) = 0; тензорное произведение f (x 1
) к функциям многих переменных f
(x 1
,..., x q
); проективный предел X 1 ⊂ X 2
⊂..., здесь x j , начиная с некоторого j 0
, лежат в одном X j0
, и в нём Н α , обладающих тем свойством, что для каждого α найдётся β такое, что h
β ⊂ Н
α , и это - т. н. вложение Гильберта - Шмидта . Разработан важный раздел Ф, а., в котором изучаются пространства с конической структурой «x
С (Т
), в нём считается x
x (t
≥)0 для всех t
∈T
. 3. Операторы (общие понятия). Функционалы.
Пусть X
, Y
- линейные пространства; отображение A
: X
→ Y
называется линейным, если для x
, у
∈ X
, λ, μ ∈ A
(λx
+ μу
) = λAx
+ μАу
; линейные отображения обычно называются линейными операторами. В случае конечномерных X
, Y
структура линейного оператора простая: если зафиксировать базисы в Х
и Y
, то где x 1
,..., x n
и (Ax
) 1 ,..., (Ax
) n
- координаты векторов x
и Ax
соответственно. При переходе к бесконечномерным линейным топологическим пространствам положение значительно усложняется. Здесь прежде всего необходимо различать непрерывные и разрывные линейные операторы (для конечномерных пространств они всегда непрерывны). Так, действующий из пространства L 2
(а
, b
) в него же оператор (где K
(t
, s
) - ограниченная функция - ядро А
) - непрерывен, в то время как определённый на подпространстве C 1
(a
, b
) ⊂ L 2
(a
, b
) оператор дифференцирования является разрывным (вообще, характерной особенностью разрывных операторов является то, что они не определены на всём пространстве). Непрерывный оператор A
: X
→ Y
, где X
, Y
- банаховы пространства, характеризуется тем, что поэтому его называют также ограниченным. Совокупность всех ограниченных операторов X, Y
) относительно обычных алгебраических операций образует банахово пространство с нормой ||A
||. Свойства X, Y
) во многом отражают свойства самих Х
и Y
. В особенности это относится к случаю, когда Y
одномерно, т. е. когда рассматриваются линейные непрерывные отображения l
: X
→ X, Х пространством и обозначается X"
. Если Х
= Н
гильбертово, то структура H"
проста: подобно конечномерному случаю, каждый функционал l
(x
) имеет вид (x
, a
), где a
- зависящий от l
вектор из Н
(теорема Риса). Соответствие H"
→ Н
устанавливает изоморфизм между H"
и Н
, и можно считать, что H"
= Н
. В случае общего банахова пространства Х
ситуация гораздо сложнее: можно строить X"
, X»
= (X"
)"
,..., и эти пространства могут оказаться различными. Вообще, в случае банахова пространства непрост даже вопрос о существовании нетривиальных (т. е. отличных от 0) функционалов. Если F
- подпространство Х
(не сводящееся к одной точке) и существует l
∈ F"
, то этот функционал можно продолжить на всё Х
до функционала из X"
без изменения нормы (теорема Хана - Банаха). Если l
∈ Х
, то уравнение l
(x
) = c
определяет гиперплоскость - сдвинутое на некоторый вектор подпространство X
, имеющее на единицу меньшую, чем X
, размерность, так что результаты типа указанной теоремы имеют простую геометрическую интерпретацию. Пространство X"
в известном смысле «лучше» X
. Так, например, в нём можно наряду с нормой ввести т. н. слабую топологию [грубо говоря, x ∈ X
], относительно которой шар, т. е. множество точек x
∈ Х
таких, что ||x
|| ≤ r
, уже будет компактным (такого эффекта никогда не будет в бесконечномерном пространстве относительно топологии, порождаемой нормой). Это позволяет более детально изучить ряд геометрических вопросов для множеств из X"
, например установить структуру произвольного компактного выпуклого множества как замкнутой оболочки своих крайних точек (теорема Крейна - Мильмана). Важной задачей Ф. а. является отыскание общего вида функционалов для конкретных пространств. В ряде случаев (помимо гильбертова пространства) это удаётся сделать, например (l p
)", p
> 1, состоит из функций вида ∑x j e j
, где t 0 и m
на пространстве D
(|R) определён функционал Ф = W l 2
(T
). Дифференциальный оператор D
, фигурирующий в (3), будет непрерывным, если его понимать действующим в L 2
[a
, b
] из пространства C 1
[a
, b
], снабженного нормой 4. Специальные классы операторов. Спектральная теория.
Многие задачи приводят к необходимости изучать разрешимость уравнения вида Cx
= y
, где С
- некоторый оператор, у
∈ Y
- заданный, а x
∈ Х
- искомый векторы. Например, если Х
= Y
= L 2
(а
, b
), С
= Е
- А
, где А
- оператор из (2), а Е
- тождественный оператор, то получается интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода; если С
- дифференциальный оператор, то получается дифференциальное уравнение, и т.п. Однако здесь нельзя рассчитывать на достаточно полную аналогию с линейной алгеброй, не ограничивая класс рассматриваемых операторов. Одним из важнейших классов операторов, наиболее близких к конечномерному случаю, являются компактные (вполне непрерывные) операторы, характеризующиеся тем, что переводят каждое ограниченное множество из Х
в множество из Y
, замыкание которого компактно [таков, например, оператор А
из (2)]. Для компактных операторов построена теория разрешимости уравнения x
- Ax
= у
, вполне аналогичная конечномерному случаю (и содержащая, в частности, теорию упомянутых интегральных уравнений) (Ф. Рис). В разнообразных задачах математической физики возникает т. н. задача на Собственные значения: для некоторого оператора А
: Х
→ Х
требуется выяснить возможность нахождения решения φ ≠ 0 (собственного вектора (См. Собственные векторы)) уравнения А
φ = λφ при некотором λ ∈ А на собственный вектор особенно просто - оно сводится к умножению на скаляр. Поэтому, если, например, собственные векторы оператора А
образуют базис e j
, j
∈ X, т. е. имеет место разложение типа (1), то действие А
становится особенно наглядным: Ax
= ∑ j x j e j , (4) где λ j
, - собственное значение, отвечающее e j
. Для конечномерного Х
вопрос о таком представлении полностью выяснен, при этом в случае кратных собственных значений для получения базиса в Х
нужно, вообще говоря, добавить к собственным т. н. присоединённые векторы. Набор SpA собственных значений в этом случае называется спектром А
. Первое перенесение этой картины на бесконечномерный случай было дано для интегральных операторов типа А
из (2) с симметричным ядром [т. е. K
(t
, s
) = K
(s
, t
) и действительно] (Д. Гильберт). Затем подобная теория была развита для общих компактных самосопряжённых операторов (См. Самосопряжённый оператор) в гильбертовом пространстве. Однако при переходе к простейшим некомпактным операторам возникли трудности, связанные с. самим определением спектра. Так, ограниченный оператор в L 2
[a
, b
] (Tx
)(t
) = tx
(t
) (5) не имеет собственных значений. Поэтому определение спектра было пересмотрено, обобщено и выглядит сейчас следующим образом. Пусть Х
- банахово пространство, А
∈ X, X
). Точка z
∈ А, если обратный оператор (А
- zE
) –1 = R z
(т. е. обратное отображение) существует и принадлежит X, X
). Дополнение к множеству регулярных точек и называется спектром Sp А
оператора А
. Как и в конечномерном случае, Sp А
всегда не пуст и расположен в круге ||z
|| ≤ ||A
||. С помощью этих понятий построена Операторов теория, т. е. выяснено, как придавать разумный смысл некоторым функциям от операторов. Так, если f
(z
) = f (A
) = f (z
) - аналитическая функция, то так прямо понимать f
(A
) уже не всегда возможно; в этом случае f
(A
) определяется следующей формулой, если f
(z
) аналитична в окрестности SpA, а Г - контур, охватывающий SpA и лежащий в области аналитичности f
(z
): При этом алгебраические операции над функциями переходят в аналогичные операции над операторами [т. е. отображение f
(z
) → f
(A
) - гомоморфизм]. Эти конструкции не дают возможности выяснить, например, вопросы полноты собственных и присоединённых векторов для общих операторов, однако для самосопряжённых операторов, представляющих основной интерес, например, для квантовой механики, подобная теория полностью разработана. Пусть Н
- гильбертово пространство. Ограниченный оператор А
: Н
→ Н
называется самосопряжённым, если (Ax
, у
) = (x
, Ау
) (в случае неограниченного А
определение более сложно). Если Н
n
-мерно, то в нём существует ортонормированный базис собственных векторов самосопряжённого оператора А
; другими словами, имеют место разложения: где P
(λ j
) - оператор проектирования (проектор) на подпространство, натянутое на все собственные векторы оператора А
, отвечающие одному и тому же собственному значению λ j
. Оказывается, что эти формулы могут быть обобщены на произвольный самосопряжённый оператор из Н
, только сами проекторы P
(λ j
) могут не существовать, поскольку могут отсутствовать и собственные векторы [таков, например, оператор Т
в (5)]. В формулах (7) суммы заменяются теперь интегралами Стилтьеса по неубывающей операторнозначной функции Е
(λ) [которая в конечномерном случае равна А. Если привлечь обобщённые функции, то формулы типа (7) сохраняются. Именно, если имеется тройка Ф" ⊃ Н
⊃ Ф
, где Ф, например, ядерно, причём А
переводит Ф в Ф" и непрерывно, то соотношения (7) имеют место, только суммы переходят в интегралы по некоторой скалярной мере, а Е
(λ) теперь «проектирует» Ф в Ф", давая векторы из Ф", которые будут собственными в обобщённом смысле для А
с собственным значением λ. Аналогичные результаты справедливы для т. н. нормальных операторов (т. е. коммутирующих со своими сопряжёнными). Например, они верны для унитарных операторов (См. Унитарный оператор) U
- таких ограниченных операторов, которые отображают всё Н
на всё Н
и сохраняют при этом скалярное произведение. Для них спектр SpU
расположен на окружности |z
| = 1, вдоль которой и производится интегрирование в аналогах формул (6). См. также Спектральный анализ линейных операторов. 5. Нелинейный функциональный анализ.
Одновременно с развитием и углублением понятия пространства шло развитие и обобщение понятия функции. В конечном счёте оказалось необходимым рассматривать отображения (не обязательно линейные) одного пространства в другое (часто - в исходное). Одной из центральных задач нелинейного Ф. а. является изучение таких отображений. Как и в линейном случае, отображение пространства в Важной задачей нелинейного Ф. а. является задача отыскания неподвижных точек отображения (точка x
называется неподвижной для отображения F
, если Fx
= x
). К отысканию неподвижных точек сводятся многие задачи о разрешимости операторных уравнений, а также задачи отыскания собственных значений и собственных векторов нелинейных операторов. При решении уравнений с нелинейными операторами, содержащими параметр, возникает существенное для нелинейного Ф. а. явление - т. н. точки ветвления (решений). При исследовании неподвижных точек и точек ветвления используются топологические методы: обобщения на бесконечномерные пространства теоремы Брауэра о существовании неподвижных точек отображений конечномерных пространств, степени отображений и т.п. Топологические методы Ф. а. развивались польским математиком Ю. Шаудером, французским математиком Ж. Лере, советскими математиками М. А. Красносельским, Л. А. Люстерником и др. 6. Банаховы алгебры. Теория представлений.
На ранних этапах развития Ф. а. изучались задачи, для постановки и решения которых необходимы были лишь линейные операции над элементами пространства. Исключение составляют, пожалуй, только теория колец операторов (факторов) (Дж. Нейман, 1929) и теория абсолютно сходящихся рядов Фурье (Н. Винер, 1936). В конце 30-x гг. в работах японского математика М. Нагумо, советских математиков И. М, Гельфанда, Г. Е. Шилова, М. А. Наймарка и др. стала развиваться теория т. н. нормированных колец (современное название - банаховы алгебры), в которой, кроме операций линейного пространства, аксиоматизируется операция умножения (причём ||xy
|| ≤ ||x
|| ||y
||). Типичными представителями банаховых алгебр являются кольца ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве Х
(умножение в нём - последовательное применение операторов - необходимо с учётом порядка), различного рода функциональные пространства, например C
(T
) с обычным умножением, L 1
(|R) со свёрткой в качестве произведения, и широкое обобщение их - класс т. н. групповых алгебр (топологические группы G
), состоящих из комплекснозначных функций или мер, определённых на G
со свёрткой (в различных, не обязательно эквивалентных вариантах)
Функциональный анализ признаков поведения
Можно привести много примеров, когда функция поведенческого акта очевидна и не требует специальных исследований. Однако во многих случаях, требуются кропотливые исследования, чтобы выяснить например, функцию отдельных автора
Крапивенский Соломон Элиазарович
x m , x n
∈ X,
следует существование предела Х). Полное линейное нормированное и полное предгильбертово пространства называются, соответственно, банаховым и гильбертовым. При этом известная процедура пополнения метрического пространства (аналогичная переходу от рациональных чисел к действительным) в случае линейного нормированного (предгильбертова) пространства приводит к банахову (гильбертову) пространству.
l p всех последовательностей таких, что x|| =(∑x j | p
) 1/p ; в случае p
= 2 пространства l 2
и L 2
(T
) гильбертовы, при этом, например, в L 2
(T
) скалярное произведение 
D (|R), состоящее из бесконечно дифференцируемых функций на |R, каждая из которых финитна [т. е. равна нулю вне некоторого интервала (а
, b
)]; при этом x n
x, если x n
(t
) равномерно финитны [т. е. (а
, b
) не зависит от n
] и сходятся равномерно со всеми своими производными к соответствующим производным x
(t
).
m = 0 его ещё можно записать «классическим» образом - при помощи интеграла, однако при m
≥ 1 это уже невозможно. Элементы из (D
(|R))" называются обобщёнными функциями (См. Обобщённые функции) (распределениями). Обобщённые функции как элементы сопряжённого пространства можно строить и тогда, когда D
(|R) заменено другим пространством Ф, состоящим как из бесконечно, так и конечное число раз дифференцируемых функций; при этом существенную роль играют тройки пространств Ф" ⊃ Н
⊃ Ф, где Н
- исходное гильбертово пространство, а Ф - линейное топологическое (в частности, гильбертово с др. скалярным произведением) пространство, например
3. Социальные системы: функциональный анализ Анализ социальных систем, проведенный выше, носил по преимуществу структурно-компонентный характер. При всей своей важности он позволяет понять, из чего состоит система и - в гораздо меньшей степени - какова ее целевая
9. Эмпирическая социология и структурно-функциональный анализ В первой половине XX столетия на Западе, прежде всего в Европе и Америке, быстро развивалась эмпирическая социология. Она представляет собой современное проявление социологического позитивизма, начало
Функциональный акт Любой интеллект функционирует дискретно. Если говорить точнее, то это сочетание непрерывных и дискретных процессов. Впрочем, существуют ли вообще чисто непрерывные процессы. Во всяком случае, в сложных системах любое непрерывное есть только
2.1.2. Функциональный анализ Термин «функция» означает «исполнение». В социальной системе функция означает исполнение ролей определенную деятельность, выполняемую элементами в интересах системы.Сущностьфункционального анализа заключается в выделении элементов
2.1.3. Структурно-функциональный анализ Мы намеренно представили Р. Мертона как сторонника и структурного, и функционального подходов. Действительно, в 1949 г. он опубликовал работу «Парадигмы для функционального анализа» и явился миру социальных наук как последовательный
Функциональный Акт Разум действует не непрерывно, а «порциями», «единицами действия». Я их назвал Функциональные Акты (ФА). Они являются как бы некими единицами механизмов мышления и требуют подробного рассмотрения.Процедуры ФА осуществляются с участием как устройств
3.1.3. Функциональный анализ Самоутверждение рождает в человеке чувство собственного достоинства и подтверждает его на разных этапах жизни. К такому выводу приходят исследователи, когда говорят о функциях самоутверждения.Если считать его единственным выводом, то в таком
Объекты управления, которые выражают характер, и содержание управляемых процессов являются весомыми признаками классификации видов анализа, применяемого к деятельности хозяйственного типа. Примечательным видом является функциональный анализ, который следует рассмотреть более подробно.
Функциональный анализ представляет собой разновидность анализа, которая предполагает рассмотрение объекта, с точки зрения комплекса его функций, не учитывая его как материально-вещественную структуру. То есть его принимают не как совокупность конструктивных деталей, а как носитель определенной функции.
Предметом анализа этого типа являются причинно-следственные связи, структура функций и содержание конкретного продукта. Проведение исследований данного типа требует наличия специальных знаний.
В объекте, подвергающемуся анализу, присутствуют полезные функции, которым сопутствуют нейтральные и негативные функции. Чтобы понять, что это означает, можно рассмотреть конкретный пример. Нож мясорубки выполняет три функции одновременно: нейтральную - нагрев продукта, полезную - его измельчение, а также негативную - сминает его. Из данной предпосылки исходит функциональный анализ. Стоит также понимать, что функции одного объекта могут быть для него полезными, а для других вредными или нейтральными.
Анализ данного типа позволяет сосредоточить все внимание на функциях рассматриваемого объекта, абстрагируясь от его исполнения. Дабы повысить степень выполнения и уменьшить затраты функций, производится поиск альтернативных вариантов для их реализации. Анализ этого вида может использоваться с целью совершенствования технических процессов и объектов.
Функциональный анализ применяется для достижения таких целей:
Функциональный анализ должен разрабатываться с предельной внимательностью, что позволит достичь поставленных целей.
Структурно функциональный анализ представляет собой один из главнейших подходов к изучению социальных явлений. Он получил наибольше значение в теории организаций. В некоторых случаях социальный объект рассматривается как адаптивная система, составляющие которой удовлетворяют потребности системы в целом.
Функциональный стоимостной анализ представляет собой один из способов проведения системного исследования функций объекта. Благодаря ему можно найти баланс между полезностью объекта и его себестоимостью. Его применяют для совершенствования продукции и услуг.
Рассмотрев данное понятие, можно начать более углубленное изучение функционального анализа, которое позволит подробно изучить тему.
