functional analysis) Поведенческая оценка делает упор на использовании эмпирических методологий, применяемых для количественного измерения целевого поведения и многочисленных контролирующих его факторов. В ист. аспекте термин "Ф. а." характеризовался широким разнообразием видов оценки поведения и определялся как "выявление важных, поддающихся контролю, каузальных функциональных зависимостей, относящихся к специфическому набору целевых форм поведения конкретного клиента". Это определение содержит в себе ряд эксплицитных и подразумеваемых характеристик. Осн. компонентом Ф. а. яв-ся каузальные функциональные зависимости. Как таковая, функциональная связь означает лишь ковариацию между двумя переменными. Некоторые функциональные связи яв-ся каузальными, тогда как др. - исключительно корреляционными. Поскольку извлекаемая в ходе Ф. а. информ. преимущественно используется для реализации планов вмешательства, специалист по анализу поведения в большей степени заинтересован в изоляции и количественной оценке каузальных функциональных связей. Каузальные функциональные зависимости могут быть мат. описаны как повышенные условные вероятности: такую зависимость можно предполагать в тех случаях, когда вероятность наблюдения выходящего за границы фоновых колебаний изменения в целевом поведении будет большей при появлении предполагаемого каузального события (его условная вероятность), чем вероятность наблюдения такого изменения в целевом поведении при непоявлении этого события (его безусловная вероятность). В целях ил. предположим, что А - это изменение уровня кровяного давления (целевое поведение), В - изменение в повседневных стрессорах (предполагаемое каузальное событие) и P - вероятность. Если вероятность изменения кровяного давления вслед за изменением в повседневном стрессе (Р[А/В]) будет выше вероятности естественного изменения кровяного давления (Р[А]), отсюда в порядке рабочей гипотезы можно вывести каузальную функциональную зависимость. Каузальные функциональные связи с конкретным целевым поведением могут иметь многие переменные. Напр., нарушение работы систем нейротрансмиттеров ЦНС, утрата ситуативного подкрепления на реакцию, повышение уровней аверсивных последствий поведения, негативные самохарактеристики и сезонные изменения в солнечном освещении - все это может оказывать каузальное влияние на депрессивное состояние конкретного клиента. Наиболее релевантным для планирования поведенческих вмешательств будет подмножество переменных, к-рые оказывают нетривиальное каузальное влияние на целевое поведение. Следовательно, второй отличительной особенностью Ф. а. яв-ся его акцент на установление наиболее важных каузальных функциональных зависимостей. Не все важные каузальные функциональные связи удается контролировать. Значимые события истории жизни (напр., травмирующий опыт) и биолог. свойства (напр., наследственность) яв-ся двумя типами важных каузальных факторов, к-рые не подлежат изменению. Поскольку поведенческие вмешательства планируются для того, чтобы вызывать изменение в целевых формах поведения, Ф. а. будет, как правило, ограничиваться выявлением поддающихся контролю (и часто существующих на данный момент) каузальных функциональных зависимостей. Следующая характеристика Ф. а. - его направленность на выявление каузальных функциональных связей, относящихся к специфическим целевым формам поведения конкретного клиента. Такой идиографический акцент согласуется с бихевиористской аксиомой о существовании важных внутри- и межиндивидных различий в причинах поведения. Наконец, поскольку Ф. а. определяется через целевое поведение, изучению в процессе оценки подвергается широкий спектр каузальных связей. Т. о., тщательному рассмотрению подлежит весь комплекс перестановок антецедент-реакция, реакция-реакция и реакция-последствие, а тж взаимодействий антецедент х х реакция х последствие. Выявление каузальных функциональных связей. Выведение заключения о существовании функциональной связи между контролируемой переменной и целевым поведением требует наличия: а) "признаков причинной обусловленности", таких как повышение условных вероятностей и/или надежной ковариации; б) предшествования по времени (т. е. предполагаемая каузальная переменная предшествует наблюдаемому эффекту, возникающему в целевом поведении); в) исключения возможных альтернативных объяснений наблюдаемой связи. Для определения того, существует ли каузальная функциональная связь между контролируемым событием и целевым поведением, могут использоваться несколько методов оценки. Для эмпирической оценки силы и надежности каузальных функциональных связей может использоваться анализ временных рядов и планы исслед. на одном объекте (испытуемом). Однако реализация этих методологий может быть сопряжена с серьезными трудностями, поскольку они требуют множества измерений и значительных усилий от клиента и обычно позволяют оценивать взаимодействия лишь между малым числом переменных. Применение различных совр. процедур оценки поведения (напр., стандартизованные самоотчеты, схемы наблюдения, поведенческие интервью, схемы самонаблюдения и психофизиологические меры) тж может обеспечивать информ. о каузальных функциональных связях. Напр., клиент может сообщать о высоких уровнях соц. тревожности при заполнении опросника, демонстрировать высокие уровни реактивности частоты сердечных сокращений в процессе разыгрывания ролей в психофизиологической лаборатории и обнаруживать слабое владение умениями соц. взаимодействия в ходе поведенческого интервью. Наличие подобных данных позволяет выдвинуть предположение о том, что соц. тревожность этого клиента обусловлена повышенной активацией симпатической НС в сочетании с дефицитами соц. умений. Однако в силу неспособности проводящего оценку специалиста установить факт предшествования по времени эти каузальные рассуждения допускают возможность альтернативных объяснений. В приведенном примере равно вероятным м. б. также предположение о том, что соц. тревожность и повышенная активация симпатической НС приводят к дефицитам соц. умений. Третий путь установления каузальных функциональных связей состоит в использовании переменных-маркеров (marker variables). Переменной-маркером яв-ся легко реализуемое измерение, надежно связанное с силой каузальной функциональной связи. Примером такого эмпирически валидизированного маркера может служить проба на вдыхание углекислого газа. Пациенты с паническими расстройствами, в сравнении с контрольной группой здоровых людей, значительно чаще проявляют симптомы острой паники при их побуждении неоднократно вдыхать воздух с высокой концентрацией углекислого газа. Т. о., реакция на этот легко реализуемый тест может использоваться как маркер для наблюдения за тем, яв-ся ли комплекс биоповеденческих связей, к-рые характеризуют паническое расстройство, действующим в отношении конкретного клиента. Хотя стратегия использования переменной-маркера может предоставлять ценную информ. в отношении каузальных функциональных связей, на сегодняшний день в литературе по анализу поведения имеется острый дефицит в эмпирически валидизированных переменных-маркерах. В рез-те, для выявлении каузальных функциональных связей оценивающие поведение специалисты в большинстве случаев опираются на невалидизированные переменные-маркеры, такие как отчеты клиентов (напр., клиент с диагностированным ПТСР может сообщить, что воспоминания о пережитом травматическом событии чаще возвращаются в ситуациях возникновения напряженности во взаимоотношениях между супругами). То, насколько точно подобные отчеты клиентов отражают присутствие и силу каузальных функциональных связей, яв-ся предметом непрекращающихся споров. Итоги и дальнейшие перспективы. Ф. а. делает упор на идентификацию и количественную оценку важных контролируемых каузальных функциональных связей для целей планирования вмешательства. Выявление каузальных функциональных связей на основе использования строгих эмпирических процедур, однако остается чрезвычайно трудной задачей для большинства специалистов по оценке поведения. Действительно, в одном из обзоров литературы по данной проблеме обнаружилось, что предваряющие вмешательство Ф. а. проводились в лишь 20% из 156 случаев исслед., опубликованных за период между 1985 и 1988 гг. Обращение к использованию методов Ф. а. может возрасти, когда в распоряжении специалистов окажется большее количество эмпирически валидизированных переменных-маркеров, и когда будут получены ответы на следующие важные вопросы. Во-первых, действительно ли предварительный Ф. а. проблемного поведения приводит к гораздо более эффективному вмешательству? Во-вторых, могут ли оценивающие поведение специалисты, при наличии соответствующей подготовки, надежно выявлять каузальные функциональные связи? В-третьих, в какой мере рез-ты Ф. а. могут распространяться на др. людей, др. формы поведения и условия? В-четвертых, каковы процессы принятия решений, к-рые регулируют проведение Ф. а. специалистами по оценке поведения? См. также Активное исследование, Зависимые переменные, Идиодинамика, Каузальное мышление, Клиническая оценка У. О"Брайен
И интеграла, теория функций , теория операторов , дифференциальное исчисление на бесконечномерных пространствах. Во второй половине XX века функциональный анализ пополнился целым рядом более специальных разделов, построенных на базе классических.
Функциональный анализ находит применение во многих точных науках; многие важнейшие теоретические конструкции описаны языком функционального анализа. В частности, в начале XXI века функциональный анализ широко применяется в теории дифференциальных уравнений , математической физике, теоретической физике (в том числе, квантовой механике , теории струн), теории управления и оптимизации , теории вероятностей , математической статистике , теории случайных процессов и других областях. Теория преобразования Фурье , используемая во многих областях науки и техники (например, в теории обработки изображений), также может рассматриваться как часть функционального анализа.
Развитие функционального анализа связано с изучением преобразования Фурье, дифференциальных и интегральных уравнений . Большой вклад в развитие и становление функционального анализа внёс польский математик Стефан Банах .
Изучение представления функций с помощью преобразования Фурье было привлекательно, к примеру, потому, что для определённых классов функций можно континуальный набор точек (значения функции) охарактеризовать счётным набором значений (набором коэффициентов).
Методы функционального анализа быстро приобрели популярность в различных областях математики и физики в качестве мощного инструмента. Значительную роль при этом сыграла теория линейных операторов :
| Функциональный анализ за последние два десятилетия настолько разросся, настолько широко и глубоко проник почти во все области математики, что сейчас даже трудно определить самый предмет этой дисциплины. Однако в функциональном анализе есть несколько больших «традиционных» направлений, которые и поныне в значительной степени определяют его лицо. К их числу принадлежит и теория линейных операторов, которую иногда называют становым хребтом функционального анализа.
Именно через теорию операторов функциональный анализ столкнулся с квантовой механикой , дифференциальными уравнениями, теорией вероятности, а также рядом прикладных дисциплин. Костюченко А. Г. , предисловие редактора перевода к книге 1962 года |
В конце 90-x годов XX в. в копилку функционального анализа добавилась тема, посвящённая вейвлет -преобразованиям. Эта тема пришла из практики как попытка построений новых базисов функциональных пространств, обладающих дополнительными свойствами, к примеру, хорошей скоростью сходимости приближений. Вклад в развитие внесла И. Добеши .
Функциональный анализ в его современном состоянии включает следующие ветви:
Функция – это одно из важнейших понятий современной ТРИЗ. Модель функции представляет собой триаду: субъект (носитель) функции, действие, объект функции. Действие может выражаться в виде глагола действия или параметра и направления его изменения. Например, пламя увеличивает температуру печки, пламя уменьшает вес воздушного шара, жидкость вблизи фазового перехода стабилизирует температуру объекта и т. д. Пример формулировки целевой функции: карандаш изменяет цвет (красит) бумаги; дешифратор восстанавливает исходное сообщение; отладочный интерфейс заносит необходимую информацию в log-файл.
Для проведения функционального анализа необходимо знать и понимать несколько терминов, которые мы перечислим ниже.
Носитель функции – субъект, реализующий рассматриваемую функцию.
Объект функции – объект, на который направлено действие рассматриваемой функции.
Полезная функция – функция, обусловливающая потребительские свойства объекта.
Вредная функция – функция, отрицательно влияющая на потребительские свойства объекта.
Нейтральная функция – функция, не влияющая на изменение потребительских свойств объекта.
Главная функция – полезная функция, отражающая назначение объекта (цель его создания).
Дополнительная функция – полезная функция, обеспечивающая совместно с главной функцией проявление потребительских свойств объекта.
Основная функция – функция, обеспечивающая выполнение главной.
Вспомогательная функция первого ранга – функция, обеспечивающая выполнение основной.
Вспомогательная функция второго ранга – функция, обеспечивающая выполнение вспомогательной функции первого ранга. Вспомогательные функции третьего и других более низких рангов – функции, подчиненные по отношению к функциям предыдущего ранга.
Ранг функции – значимость функции, определяющая ее место в иерархии функций, обеспечивающих выполнение главной функции.
Уровень выполнения функции – качество ее реализации, характеризующееся значением параметров носителя функции.
Требуемые параметры – параметры, соответствующие реальным условиям функционирования объекта.
Фактические параметры – параметры, присущие анализируемому объекту (существующему или проектируемому).
Адекватный уровень выполнения функции – соответствие фактических параметров требуемым.
Избыточный уровень выполнения функции – превышение фактических параметров над требуемыми.
Недостаточный уровень выполнения функции – превышение требуемых параметров над фактическими.
Компонентная модель – модель, отражающая состав объекта и иерархию (соподчиненность) его элементов.
Структурная модель – модель, отражающая взаимосвязи между элементами объекта. Создание компонентной и структурной моделей называется компонентно-структурным анализом .
Функциональная модель – модель, отражающая комплекс функций объекта анализа и его элементов.
Функционально-идеальная модель – функциональная модель после применения свертывания, отражающая комплекс функций объекта, реализуемых минимальным числом элементов.
Нежелательный эффект – недостаток объекта, выявленный в процессе анализа.
В некоторых случаях, когда нет направленного действия, а имеется лишь взаимодействие объектов, субъект функции невозможно отличить от объекта функции. Например, при взаимодействии двух радиоактивных веществ может активизироваться ядерная реакция и происходит взрыв. Оба вещества действуют в этом случае друг на друга. В оптике при создании зеркал на шлифовальной машине на каком-то этапе можно изготавливать сразу два зеркала: выпуклое и вогнутое. Оба стекла обрабатывают друг друга.
Понятие функции в ТРИЗ самым тесным образом связано с понятием «параметр ». Параметр имеет несколько важных характеристик:
– параметр существует не сам по себе, он всегда привязан к тому или иному объекту, характеризует состояние этого объекта;
– изменить значение параметра можно, только воздействуя на объект;
– время является параметром для процессов или операций;
– параметр можно измерить тем или иным способом, включая экспертные оценки;
– для одного и того же параметра существуют не менее двух объектов, характеризующихся этим параметром, параметр не может быть уникальным только для одной системы;
– параметр можно увеличивать, уменьшать, стабилизировать, управлять, сравнивать;
– параметры объекта могут быть взаимосвязанными между собой;
– взаимная связь (зависимость) между параметрами объекта определяется свойствами этого объекта;
– объект может характеризоваться разными параметрами в зависимости от аспекта его рассмотрения.
Параметры объекта могут быть связаны причинно-следственными цепочками и создавать иерархические параметрические структуры.
Можно выделить материальные и нематериальные аспекты рассмотрения системы.
Материальные аспекты:
– физический (микро и макро)
– химический
– биологический
– технический
– искусство (материальная составляющая).
Нематериальные аспекты:
– психологический
– эстетически-художественный
– социальный (индивидуальный, групповой, общественный, поведенческий)
– организационно-структурный
– бизнес (бизнес-модель, методы и технологии ведения бизнеса)
– личностно-психологический
– лингвистический
– финансово-экономический
– юридически-правовой
– политический
– научно-исследовательский
– абстрактно-математический (множества, программы, формальная логика и пр.)
В зависимости от аспекта рассмотрения системы параметры могут быть:
– информационными (скорость передачи данных, надежность, защищенность и др.),
– техническими (производительность, надежность, точность измерения и др.),
– экономическими (прибыль, ликвидность, рентабельность и др.),
– физическими (температура, масса, давление, освещенность и др.),
– биохимическими (уровень глюкозы, уровень холестерина, титр антител и др.) и т. д.
Могут использоваться и узкоспециальные параметры. Например, для жестких магнитных дисков (винчестеров) используют специальные параметры: диаметр диска, число секторов на дорожке, скорость передачи данных, время перехода от одной дорожки к другой и т. д.
Одни параметры, например, информационные, могут формироваться как результат состояния других параметров, например, технических, физических, химических, биологических.
От качества формулировки моделей функций зависит эффективность всего функционального анализа. Имеется опасность сделать две принципиальные ошибки. Первая – сформулировать действия в форме глагола, который в действительности действие не описывает. Например, любить, работать, трудиться, исправлять – такие глаголы не помогут описать действие. Нужен конкретный параметр, который в результате этого действия изменяется. Вторая довольно типичная ошибка – неверная или неточная формулировка субъекта или объекта функции. Например, часто забывают, что объект главной функции находится за пределами рассматриваемой системы. Например, редакторы текстов направлены на взаимодействие с пользователем, который сам по себе не является частью этого редактора. При формулировках функций для нематериальных систем эти проблемы формулировки функций только обостряются. Например, в информационных технологиях объект функции и субъект функции очень часто меняются местами во времени. Так, при работе с базой данных пользователь является то поставщиком информации, то потребителем информации.
Пример функциональной модели программного продукта был приведен в разделе 2.3.2. Для построения функциональной модели необходимо вначале построить компонентную модель (из чего состоит система). Это полезно и с точки зрения поиска ресурсов для решения поставленной задачи. Затем строится структурная модель – какие элементы связаны друг с другом в системе, а какие нет. После этого для каждого компонента (элемента системы) формулируется функция или несколько функций и строится функциональная модель системы, на основе которой и проводится функциональный анализ.
Построенная функциональная модель системы позволяет, в частности, проводить причинно-следственный анализ, выделяя основные существующие в системе недостатки и выстраивая причинно-следственные цепочки для выяснения причин возникновения основных недостатков. Это позволяет сформулировать ключевые недостатки системы, решение которых, как по принципу падающих домино, приводит к устранению целой группы недостатков.
Один из вариантов функционального анализа – функционально-стоимостный анализ (ФСА). Упрощенно его можно описать следующим образом. Каждому элементу ставят в соответствие определенную функцию или набор функций, определяют их значимость для системы в целом. После этого для тех же компонентов (элементов) определяют совокупные затраты. Распределение функциональной значимости элементов сравнивают с распределением затрат на этот элемент. Те элементы, которые имеют высокие затраты, связаны с большим количеством нежелательных элементов и при этом имеют не значительный функциональный ранг – это первые кандидаты на свертывание в этой системе.
Для примера приведена упрощенная диаграмма сравнения функциональной значимости и уровня затрат для задачи 7. Из диаграммы видно, что для блока распознавания и блока проверки соотношение между функциональной значимостью и затратами наихудшее. Эти блоки и нужно свернуть (удалить) в первую очередь (рис. 2.17).
Проведение глубокого функционального анализа с постановкой задач на свертывание – это самостоятельный раздел ТРИЗ, требующий более глубокого изучения и дополнительных инструментов анализа ситуации и постановки задач.
Еще один аналитический инструмент – инструмент потокового анализа (анализ имеющихся в системе потоков энергии, вещества и информации). При помощи этого аналитического инструмента могут быть выявлены недостатки, сформулированы задачи или выявлены причины их возникновения.
Причинно-следственный анализ (ПСА) основан на построении причинно-следственных цепочек имеющихся в системе недостатков. Эта цепочка может быть построена в виде графической или иной модели, отражающей взаимозависимость недостатков системы.
Метод «Допустить недопустимое » – еще один метод анализа проблемной ситуации и поиска ее решения. Его суть состоит в том, чтобы предположить такое изменение в системе, которое ни при каких обстоятельствах в условиях задачи не допускаются. Допустив такое «недопустимое» изменение далее выстраивается причинно-следственная цепочка: какие изменения возникают в системе, могут ли они снять те запреты, из-за которых нам нельзя было делать это изменение?
Простейшие примеры использования метода «Допустить недопустимое» можно взять из опыта создания презентаций. Очевидное ограничение: ширину текстового блока на слайде нельзя увеличивать так, чтобы этот блок «залезал» на окружающую его картинку. Сделаем как нельзя и все же увеличим ширину этого текстового блока. Довольно часто при этом высота текстового блока автоматически уменьшается, и увеличение его ширины уже не приводит к «залезанию» на окружающую картинку.
Для анализа ситуаций и постановки задач в ТРИЗ часто используют диверсионный анализ . Главная идея диверсионного анализа состоит в том, чтобы вместо решения проблемы, ставится вопрос о том, как можно создать проблему. Выделяют два направления применения диверсионного анализа в ТРИЗ. Первое – как объяснить возникновение того или иного явления. Для этого ставится задача: как создать это явление, используя только имеющиеся ресурсы системы. Второе – ставится задача о том, как можно было бы испортить систему. Это можно делать последовательно обращая все полезные функции системы на противоположные. Например, в программе сортировки нужно сделать так, чтобы элементы массива перемещались не туда, куда нужно. Зная это, можно избежать ошибку при создании программы.
Функциональный анализ – математическая дисциплина, которая фактически является распространением линейной алгебры на бесконечномерных пространствах. Кроме того, характер вопросов, которые при этом рассматриваются, позволяет считать эту науку частью математического анализа. Предметом исследований в функциональном анализе является функционалы и операторы.I
Функциона́льный ана́лиз
часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание методов классического анализа, топологии и алгебры. Абстрагируясь от конкретных ситуаций, удаётся выделить аксиомы и на их основе построить теории, включающие в себя классические задачи как частный случай и дающие возможность решать новые задачи. Сам процесс абстрагирования имеет самостоятельное значение, проясняя ситуацию, отбрасывая лишнее и открывая неожиданные связи. В результате удаётся глубже проникнуть в сущность математических понятий и проложить новые пути исследования. Развитие Ф. а. происходило параллельно с развитием современной теоретической физики, при этом выяснилось, что язык Ф. а. наиболее адекватно отражает закономерности квантовой механики, квантовой теории поля и т.п. В свою очередь эти физические теории оказали существенное влияние на проблематику и методы Ф. а. 1. Возникновение функционального анализа.
Ф. а. как самостоятельный раздел математики сложился на рубеже 19 и 20 вв. Большую роль в формировании общих понятий Ф. а. сыграла созданная Г. Кантором теория множеств. Развитие этой теории, а также аксиоматической геометрии привело к возникновению в работах М. Фреше и Ф. Хаусдорфа метрической и более общей т. н. теоретико-множественной топологии, изучающей абстрактные пространства, т. е. множества произвольных элементов, для которых установлено тем или иным способом понятие близости. Среди абстрактных пространств для математического анализа и Ф. а. оказались важными функциональные пространства (т. е. пространства, элементами которых являются функции - откуда и название «Ф. а.»). В работах Д. Гильберта по углублению теории интегральных уравнений возникли пространства l 2
и L 2
(a
, b
) (см. ниже). Обобщая эти пространства, Ф. Рис изучил пространства l p
и L p
(a
, b
), а С. Банах в 1922 выделил полные линейные нормированные пространства (банаховы пространства). В 1930-40-х гг. в работах Т. Карлемана, Ф. Риса, американских математиков М. Стоуна и Дж. Неймана была построена абстрактная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве. В СССР первые исследования по Ф. а. появились в 30-х гг.: работы А. Н. Колмогорова (1934) по теории линейных топологических пространств; Н. Н. Боголюбова (1936) по инвариантным мерам в динамических системах; Л. В. Канторовича (1937) и его учеников по теории полуупорядоченных пространств, применениям Ф. а. к вычислительной математике и др.; М. Г. Крейна и его учеников (1938) по углублённому изучению геометрии банаховых пространств, выпуклых множеств и конусов в них, теории операторов и связей с различными проблемами классического математического анализа и др.; И. М. Гельфанда и его учеников (1940) по теории нормированных колец (банаховых алгебр) и др. Для современного этапа развития Ф. а. характерно усиление связей с теоретической физикой, а также с различными разделами классического анализа и алгебры, например теорией функций многих комплексных переменных, теорией дифференциальных уравнений с частными производными и т.п. 2. Понятие пространства.
Наиболее общими пространствами, фигурирующими в Ф. а., являются линейные (векторные) топологические пространства, т. е. линейные пространства (См. Линейное пространство) Х
над полем комплексных чисел Х можно ввести норму (длину) векторов, свойства которой являются обобщением свойств длины векторов в обычном евклидовом пространстве. Именно, нормой элемента x
∈ Х
называется действительное число ||x
|| такое, что всегда ||x
|| ≥ 0 и ||x
|| = 0 тогда и только тогда, когда x
= 0; ||λx
|| = |λ| ||x
||, λ ∈ ||x
+ y
|| ≤ ||x
|| + ||y
||. Такое пространство называется линейным нормированным; топология в нём вводится при помощи метрики dist (x
, у
) = ||x
- у
|| (т. о. считается, что последовательность x n
x, если ||x n
- x
|| В большом числе задач возникает ещё более частная ситуация, когда в линейном пространстве Х
можно ввести скалярное произведение - обобщение обычного скалярного произведения в евклидовом пространстве. Именно, скалярным произведением элементов x
, у
∈ Х
называется комплексное число (x
, у
) такое, что всегда (x
, x
) ≥ 0 и (x
, x
) = 0 тогда и только тогда, когда x
= 0; При этом x. Такое пространство называется предгильбертовым. Для конструкций Ф. а. важно, чтобы рассматриваемые пространства были полными (т. е. из того, что Обычное Евклидово пространство является одним из простейших примеров (действительного) гильбертова пространства (См. Гильбертово пространство). Однако в Ф. а. играют основную роль бесконечномерные пространства, т. е. такие, в которых существует бесконечное число линейно независимых векторов. Вот примеры таких пространств, элементами которых являются классы комплекснозначных (т. е. со значениями в x (t
), определённых на некотором множестве Т
, с обычными алгебраическими операциями [т. e
.(x
+ y
)(t
) = x
(t
) + y
(t
), (λx
)(t
) = λx
(t
)] Банахово пространство С
(Т
) всех непрерывных функций, Т
- компактное подмножество n-
мерного пространства x|| = L p (T
) всех суммируемых с р
-й (p
≥ 1) степенью функций на Т
, норма Все эти пространства бесконечномерны, проще всего это видно для l 2
: векторы e j
= {0,..., 0, 1, 0,...} линейно независимы. С геометрической точки зрения наиболее простыми являются гильбертовы пространства Н
, свойства которых больше всего напоминают свойства конечномерных евклидовых пространств. В частности, два вектора x
, у
∈ Н
называются ортогональными (x
⊥ y
), если (x
, у
) = 0. Для любого x
∈ Н
существует его проекция на произвольное подпространство F
- линейное замкнутое подмножество Н
, т. е. такой вектор x F
, что x
-x F
⊥f
для любого f
∈ F
. Благодаря этому факту большое количество геометрических конструкций, имеющих место в евклидовом пространстве, переносится на Н
, где они часто приобретают аналитический характер. Так, например, обычная процедура ортогонализации приводит к существованию в Н
ортонормированного базиса - последовательности векторов e j
, j
∈ Н таких, что ||e j
|| = 1, e j
⊥ e k
при j
≠ k
, и для любого x
∈ H
справедливо «покоординатное» разложение x
= ∑x j e j
(1) где x j
= (x
, e j
), ||x
|| = ∑x j | 2 (для простоты Н
предполагается сепарабельным, т. е. в нём существует счётное всюду плотное множество). Если в качестве Н
взять L
2 (0, 2π) и положить j =...,-1, 0, 1..., то (1) даст разложение функции x
(t
) ∈ L
2 (0, 2π) в ряд Фурье, сходящийся в среднем квадратичном. Кроме того, соотношение (1) показывает, что соответствие между Н
и l
2 ∋ {xj}
, j
∈ Подобные геометрические вопросы резко усложняются при переходе от гильбертовых к банаховым и тем более линейным топологическим пространствам в связи с невозможностью ортогонального проектирования в них. Например, «проблема базиса». Векторы e
, образуют базис в l p
в смысле справедливости разложения (1). Базисы построены в большинстве известных примеров банаховых пространств, однако проблема (С. Банаха - Ю. Шаудера) существования базиса в каждом сепарабельном банаховом пространстве не поддавалась решению более 50 лет и лишь в 1972 была решена отрицательно. В Ф. а. важное место занимает подобная «геометрическая» тематика, посвященная выяснению свойств различных множеств в банаховых и др. пространствах, например выпуклых, компактных и т.д. Здесь часто просто формулируемые вопросы имеют весьма нетривиальные решения. Эта тематика тесно связана с изучением изоморфизма пространств, с нахождением универсальных (подобно l
2) представителей в том или ином классе пространств и т.п. Большой раздел Ф. а. посвящен детальному изучению конкретных пространств, т.к. их свойства обычно определяют характер решения задачи, получаемой методами Ф. а. Типичный пример - теоремы вложения для т. н. пространств С. Л. Соболева и их обобщений: простейшее такое пространство W l p
(T
), p
≥ 1, l
= 0, 1, 2,..., определяется как пополнение пространства бесконечно дифференцируемых в Т
функций x
(t
) относительно нормы ∑||D
α x
|| в L p
(T
), где сумма распространяется на все производные D
α до порядка ≤ l
. В этих теоремах выясняется вопрос о характере гладкости элементов пространства, получаемых процедурой пополнения. В связи с запросами математической физики в Ф. а. возникло большое число конкретных пространств, строящихся из известных ранее при помощи определённых конструкций. Наиболее важные из них: ортогональная сумма H j - конструкция, подобная образованию Н
одномерными подпространствами, описываемому формулой (1); факторизация и пополнение: на исходном линейном пространстве Х
задаётся квазискалярное произведение [т. е. возможно равенство (x
, x
) = 0 для x
≠ 0], часто весьма экзотического характера, и Н
строится процедурой пополнения Х
относительно (.,.) после предварительного отождествления с 0 векторов x
, для которых (x
, x
) = 0; тензорное произведение f (x 1
) к функциям многих переменных f
(x 1
,..., x q
); проективный предел X 1 ⊂ X 2
⊂..., здесь x j , начиная с некоторого j 0
, лежат в одном X j0
, и в нём Разработан важный раздел Ф, а., в котором изучаются пространства с конической структурой «x
С (Т
), в нём считается x
x (t
≥)0 для всех t
∈T
. 3. Операторы (общие понятия). Функционалы.
Пусть X
, Y
- линейные пространства; отображение A
: X
→ Y
называется линейным, если для x
, у
∈ X
, λ, μ ∈ A
(λx
+ μу
) = λAx
+ μАу
; линейные отображения обычно называются линейными операторами. В случае конечномерных X
, Y
структура линейного оператора простая: если зафиксировать базисы в Х
и Y
, то где x 1
,..., x n
и (Ax
) 1 ,..., (Ax
) n
- координаты векторов x
и Ax
соответственно. При переходе к бесконечномерным линейным топологическим пространствам положение значительно усложняется. Здесь прежде всего необходимо различать непрерывные и разрывные линейные операторы (для конечномерных пространств они всегда непрерывны). Так, действующий из пространства L 2
(а
, b
) в него же оператор (где K
(t
, s
) - ограниченная функция - ядро А
) - непрерывен, в то время как определённый на подпространстве C 1
(a
, b
) ⊂ L 2
(a
, b
) оператор дифференцирования является разрывным (вообще, характерной особенностью разрывных операторов является то, что они не определены на всём пространстве). Непрерывный оператор A
: X
→ Y
, где X
, Y
- банаховы пространства, характеризуется тем, что поэтому его называют также ограниченным. Совокупность всех ограниченных операторов X, Y
) относительно обычных алгебраических операций образует банахово пространство с нормой ||A
||. Свойства X, Y
) во многом отражают свойства самих Х
и Y
. В особенности это относится к случаю, когда Y
одномерно, т. е. когда рассматриваются линейные непрерывные отображения l
: X
→ X, Х пространством и обозначается X"
. Если Х
= Н
гильбертово, то структура H"
проста: подобно конечномерному случаю, каждый функционал l
(x
) имеет вид (x
, a
), где a
- зависящий от l
вектор из Н
(теорема Риса). Соответствие H"
→ Н
устанавливает изоморфизм между H"
и Н
, и можно считать, что H"
= Н
. В случае общего банахова пространства Х
ситуация гораздо сложнее: можно строить X"
, X»
= (X"
)"
,..., и эти пространства могут оказаться различными. Вообще, в случае банахова пространства непрост даже вопрос о существовании нетривиальных (т. е. отличных от 0) функционалов. Если F
- подпространство Х
(не сводящееся к одной точке) и существует l
∈ F"
, то этот функционал можно продолжить на всё Х
до функционала из X"
без изменения нормы (теорема Хана - Банаха). Если l
∈ Х
, то уравнение l
(x
) = c
определяет гиперплоскость - сдвинутое на некоторый вектор подпространство X
, имеющее на единицу меньшую, чем X
, размерность, так что результаты типа указанной теоремы имеют простую геометрическую интерпретацию. Пространство X"
в известном смысле «лучше» X
. Так, например, в нём можно наряду с нормой ввести т. н. слабую топологию [грубо говоря, x ∈ X
], относительно которой шар, т. е. множество точек x
∈ Х
таких, что ||x
|| ≤ r
, уже будет компактным (такого эффекта никогда не будет в бесконечномерном пространстве относительно топологии, порождаемой нормой). Это позволяет более детально изучить ряд геометрических вопросов для множеств из X"
, например установить структуру произвольного компактного выпуклого множества как замкнутой оболочки своих крайних точек (теорема Крейна - Мильмана). Важной задачей Ф. а. является отыскание общего вида функционалов для конкретных пространств. В ряде случаев (помимо гильбертова пространства) это удаётся сделать, например (l p
)", p
> 1, состоит из функций вида ∑x j e j
, где t 0 и m
на пространстве D
(|R) определён функционал Ф = W l 2
(T
). Дифференциальный оператор D
, фигурирующий в (3), будет непрерывным, если его понимать действующим в L 2
[a
, b
] из пространства C 1
[a
, b
], снабженного нормой 4. Специальные классы операторов. Спектральная теория.
Многие задачи приводят к необходимости изучать разрешимость уравнения вида Cx
= y
, где С
- некоторый оператор, у
∈ Y
- заданный, а x
∈ Х
- искомый векторы. Например, если Х
= Y
= L 2
(а
, b
), С
= Е
- А
, где А
- оператор из (2), а Е
- тождественный оператор, то получается интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода; если С
- дифференциальный оператор, то получается дифференциальное уравнение, и т.п. Однако здесь нельзя рассчитывать на достаточно полную аналогию с линейной алгеброй, не ограничивая класс рассматриваемых операторов. Одним из важнейших классов операторов, наиболее близких к конечномерному случаю, являются компактные (вполне непрерывные) операторы, характеризующиеся тем, что переводят каждое ограниченное множество из Х
в множество из Y
, замыкание которого компактно [таков, например, оператор А
из (2)]. Для компактных операторов построена теория разрешимости уравнения x
- Ax
= у
, вполне аналогичная конечномерному случаю (и содержащая, в частности, теорию упомянутых интегральных уравнений) (Ф. Рис). В разнообразных задачах математической физики возникает т. н. задача на Собственные значения: для некоторого оператора А
: Х
→ Х
требуется выяснить возможность нахождения решения φ ≠ 0 (собственного вектора (См. Собственные векторы)) уравнения А
φ = λφ при некотором λ ∈ А на собственный вектор особенно просто - оно сводится к умножению на скаляр. Поэтому, если, например, собственные векторы оператора А
образуют базис e j
, j
∈ X, т. е. имеет место разложение типа (1), то действие А
становится особенно наглядным: Ax
= ∑ j x j e j , (4) где λ j
, - собственное значение, отвечающее e j
. Для конечномерного Х
вопрос о таком представлении полностью выяснен, при этом в случае кратных собственных значений для получения базиса в Х
нужно, вообще говоря, добавить к собственным т. н. присоединённые векторы. Набор SpA собственных значений в этом случае называется спектром А
. Первое перенесение этой картины на бесконечномерный случай было дано для интегральных операторов типа А
из (2) с симметричным ядром [т. е. K
(t
, s
) = K
(s
, t
) и действительно] (Д. Гильберт). Затем подобная теория была развита для общих компактных самосопряжённых операторов (См. Самосопряжённый оператор) в гильбертовом пространстве. Однако при переходе к простейшим некомпактным операторам возникли трудности, связанные с. самим определением спектра. Так, ограниченный оператор в L 2
[a
, b
] (Tx
)(t
) = tx
(t
) (5) не имеет собственных значений. Поэтому определение спектра было пересмотрено, обобщено и выглядит сейчас следующим образом. Пусть Х
- банахово пространство, А
∈ X, X
). Точка z
∈ А, если обратный оператор (А
- zE
) –1 = R z
(т. е. обратное отображение) существует и принадлежит X, X
). Дополнение к множеству регулярных точек и называется спектром Sp А
оператора А
. Как и в конечномерном случае, Sp А
всегда не пуст и расположен в круге ||z
|| ≤ ||A
||. С помощью этих понятий построена Операторов теория, т. е. выяснено, как придавать разумный смысл некоторым функциям от операторов. Так, если f
(z
) = f (A
) = f (z
) - аналитическая функция, то так прямо понимать f
(A
) уже не всегда возможно; в этом случае f
(A
) определяется следующей формулой, если f
(z
) аналитична в окрестности SpA, а Г - контур, охватывающий SpA и лежащий в области аналитичности f
(z
): При этом алгебраические операции над функциями переходят в аналогичные операции над операторами [т. е. отображение f
(z
) → f
(A
) - гомоморфизм]. Эти конструкции не дают возможности выяснить, например, вопросы полноты собственных и присоединённых векторов для общих операторов, однако для самосопряжённых операторов, представляющих основной интерес, например, для квантовой механики, подобная теория полностью разработана. Пусть Н
- гильбертово пространство. Ограниченный оператор А
: Н
→ Н
называется самосопряжённым, если (Ax
, у
) = (x
, Ау
) (в случае неограниченного А
определение более сложно). Если Н
n
-мерно, то в нём существует ортонормированный базис собственных векторов самосопряжённого оператора А
; другими словами, имеют место разложения: где P
(λ j
) - оператор проектирования (проектор) на подпространство, натянутое на все собственные векторы оператора А
, отвечающие одному и тому же собственному значению λ j
. Оказывается, что эти формулы могут быть обобщены на произвольный самосопряжённый оператор из Н
, только сами проекторы P
(λ j
) могут не существовать, поскольку могут отсутствовать и собственные векторы [таков, например, оператор Т
в (5)]. В формулах (7) суммы заменяются теперь интегралами Стилтьеса по неубывающей операторнозначной функции Е
(λ) [которая в конечномерном случае равна А. Если привлечь обобщённые функции, то формулы типа (7) сохраняются. Именно, если имеется тройка Ф" ⊃ Н
⊃ Ф
, где Ф, например, ядерно, причём А
переводит Ф в Ф" и непрерывно, то соотношения (7) имеют место, только суммы переходят в интегралы по некоторой скалярной мере, а Е
(λ) теперь «проектирует» Ф в Ф", давая векторы из Ф", которые будут собственными в обобщённом смысле для А
с собственным значением λ. Аналогичные результаты справедливы для т. н. нормальных операторов (т. е. коммутирующих со своими сопряжёнными). Например, они верны для унитарных операторов (См. Унитарный оператор) U
- таких ограниченных операторов, которые отображают всё Н
на всё Н
и сохраняют при этом скалярное произведение. Для них спектр SpU
расположен на окружности |z
| = 1, вдоль которой и производится интегрирование в аналогах формул (6). См. также Спектральный анализ линейных операторов. 5. Нелинейный функциональный анализ.
Одновременно с развитием и углублением понятия пространства шло развитие и обобщение понятия функции. В конечном счёте оказалось необходимым рассматривать отображения (не обязательно линейные) одного пространства в другое (часто - в исходное). Одной из центральных задач нелинейного Ф. а. является изучение таких отображений. Как и в линейном случае, отображение пространства в Важной задачей нелинейного Ф. а. является задача отыскания неподвижных точек отображения (точка x
называется неподвижной для отображения F
, если Fx
= x
). К отысканию неподвижных точек сводятся многие задачи о разрешимости операторных уравнений, а также задачи отыскания собственных значений и собственных векторов нелинейных операторов. При решении уравнений с нелинейными операторами, содержащими параметр, возникает существенное для нелинейного Ф. а. явление - т. н. точки ветвления (решений). При исследовании неподвижных точек и точек ветвления используются топологические методы: обобщения на бесконечномерные пространства теоремы Брауэра о существовании неподвижных точек отображений конечномерных пространств, степени отображений и т.п. Топологические методы Ф. а. развивались польским математиком Ю. Шаудером, французским математиком Ж. Лере, советскими математиками М. А. Красносельским, Л. А. Люстерником и др. 6. Банаховы алгебры. Теория представлений.
На ранних этапах развития Ф. а. изучались задачи, для постановки и решения которых необходимы были лишь линейные операции над элементами пространства. Исключение составляют, пожалуй, только теория колец операторов (факторов) (Дж. Нейман, 1929) и теория абсолютно сходящихся рядов Фурье (Н. Винер, 1936). В конце 30-x гг. в работах японского математика М. Нагумо, советских математиков И. М, Гельфанда, Г. Е. Шилова, М. А. Наймарка и др. стала развиваться теория т. н. нормированных колец (современное название - банаховы алгебры), в которой, кроме операций линейного пространства, аксиоматизируется операция умножения (причём ||xy
|| ≤ ||x
|| ||y
||). Типичными представителями банаховых алгебр являются кольца ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве Х
(умножение в нём - последовательное применение операторов - необходимо с учётом порядка), различного рода функциональные пространства, например C
(T
) с обычным умножением, L 1
(|R) со свёрткой в качестве произведения, и широкое обобщение их - класс т. н. групповых алгебр (топологические группы G
), состоящих из комплекснозначных функций или мер, определённых на G
со свёрткой (в различных, не обязательно эквивалентных вариантах)
Функциональный анализ признаков поведения
Можно привести много примеров, когда функция поведенческого акта очевидна и не требует специальных исследований. Однако во многих случаях, требуются кропотливые исследования, чтобы выяснить например, функцию отдельных автора
Крапивенский Соломон Элиазарович
x m , x n
∈ X,
следует существование предела Х). Полное линейное нормированное и полное предгильбертово пространства называются, соответственно, банаховым и гильбертовым. При этом известная процедура пополнения метрического пространства (аналогичная переходу от рациональных чисел к действительным) в случае линейного нормированного (предгильбертова) пространства приводит к банахову (гильбертову) пространству.
l p всех последовательностей таких, что x|| =(∑x j | p
) 1/p ; в случае p
= 2 пространства l 2
и L 2
(T
) гильбертовы, при этом, например, в L 2
(T
) скалярное произведение 
D (|R), состоящее из бесконечно дифференцируемых функций на |R, каждая из которых финитна [т. е. равна нулю вне некоторого интервала (а
, b
)]; при этом x n
x, если x n
(t
) равномерно финитны [т. е. (а
, b
) не зависит от n
] и сходятся равномерно со всеми своими производными к соответствующим производным x
(t
).
Н α , обладающих тем свойством, что для каждого α найдётся β такое, что h
β ⊂ Н
α , и это - т. н. вложение Гильберта - Шмидта .
m = 0 его ещё можно записать «классическим» образом - при помощи интеграла, однако при m
≥ 1 это уже невозможно. Элементы из (D
(|R))" называются обобщёнными функциями (См. Обобщённые функции) (распределениями). Обобщённые функции как элементы сопряжённого пространства можно строить и тогда, когда D
(|R) заменено другим пространством Ф, состоящим как из бесконечно, так и конечное число раз дифференцируемых функций; при этом существенную роль играют тройки пространств Ф" ⊃ Н
⊃ Ф, где Н
- исходное гильбертово пространство, а Ф - линейное топологическое (в частности, гильбертово с др. скалярным произведением) пространство, например
3. Социальные системы: функциональный анализ Анализ социальных систем, проведенный выше, носил по преимуществу структурно-компонентный характер. При всей своей важности он позволяет понять, из чего состоит система и - в гораздо меньшей степени - какова ее целевая
9. Эмпирическая социология и структурно-функциональный анализ В первой половине XX столетия на Западе, прежде всего в Европе и Америке, быстро развивалась эмпирическая социология. Она представляет собой современное проявление социологического позитивизма, начало
Функциональный акт Любой интеллект функционирует дискретно. Если говорить точнее, то это сочетание непрерывных и дискретных процессов. Впрочем, существуют ли вообще чисто непрерывные процессы. Во всяком случае, в сложных системах любое непрерывное есть только
2.1.2. Функциональный анализ Термин «функция» означает «исполнение». В социальной системе функция означает исполнение ролей определенную деятельность, выполняемую элементами в интересах системы.Сущностьфункционального анализа заключается в выделении элементов
2.1.3. Структурно-функциональный анализ Мы намеренно представили Р. Мертона как сторонника и структурного, и функционального подходов. Действительно, в 1949 г. он опубликовал работу «Парадигмы для функционального анализа» и явился миру социальных наук как последовательный
Функциональный Акт Разум действует не непрерывно, а «порциями», «единицами действия». Я их назвал Функциональные Акты (ФА). Они являются как бы некими единицами механизмов мышления и требуют подробного рассмотрения.Процедуры ФА осуществляются с участием как устройств
3.1.3. Функциональный анализ Самоутверждение рождает в человеке чувство собственного достоинства и подтверждает его на разных этапах жизни. К такому выводу приходят исследователи, когда говорят о функциях самоутверждения.Если считать его единственным выводом, то в таком
