Найдем значение выражения при различных рациональных значениях переменной х=2; 0; -3; -
Заметим, какое бы число вместо переменной икс мы не подставили, всегда можно найти значение данного выражения. Значит, мы рассматриваем показательную функцию (игрек равен три в степени икс), определенную на множестве рациональных чисел: .
Построим график данной функции, составив таблицу ее значений.
Проведем плавную линию, проходящую через данные точки (рис 1)
Используя график данной функции, рассмотрим ее свойства:
3.Возрастает на всей области определения.
8. Функция выпукла вниз.
Если в одной системе координат построить графики функций; у=(игрек равен два в степени икс, игрек равен пять в степени икс, игрек равен семь в степени икс), то можно заметить, что они обладают теми же свойствами, что и у=(игрек равен трем в степени икс) (рис.2), то есть такими свойствами будут обладать все функции вида у=(игрек равен а в степени икс, при а большем единицы)
Построим график функции:
1. Составив таблицу ее значений.
Отметим полученные точки на координатной плоскости.
Проведем плавную линию, проходящую через данные точки (рис 3).
Используя график данной функции, укажем ее свойства:
1. Область определения - множество всех действительных чисел.
2.Не является ни четной, ни нечетной.
3.Убывает на всей области определения.
4.Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
5.Ограничена снизу, но не ограничена сверху.
6.Непрерывна на всей области определения.
7. область значения от нуля до плюс бесконечности.
8. Функция выпукла вниз.
Аналогично, если в одной системе координат построить графики функций; у=(игрек равен одна вторая в степени икс, игрек равен одна пятая в степени икс, игрек равен одна седьмая в степени икс), то можно заметить, что они обладают теми же свойствами, что и у=(игрек равен одна третья в степени икс)(рис.4), то есть такими свойствами будут обладать все функции вида у=(игрек равен единица, деленная на а в степени икс, при а большем нуля, но меньшем единицы)
Построим в одной системе координат графики функций
значит, будут симметричны и графики функций у=у= (игрек равен а в степени икс и игрек равен единице, деленной на а в степени икс) при одном и том же значении а.
Обобщим сказанное, дав определение показательной функции и указав ее основные свойства:
Определение: Функция вида у=, где (игрек равен а в степени икс, где а положительно и отлично от единицы), называют показательной функцией.
Необходимо запомнить различия между показательной функцией у= и степенной функцией у=, а=2,3,4,…. как на слух, так и зрительно. У показательной функции х является степенью, а у степенной функции х является основанием.
Пример1: Решите уравнение (три в степени икс равно девяти)
(игрек равняется три в степени икс и игрек равняется девяти) рис.7
Заметим, что они имеют одну общую точку М (2;9) (эм с координатами два; девять), значит, абсцисса точки будет являться корнем данного уравнения. То есть, уравнение имеет единственный корень х= 2.
Пример 2: Решите уравнение
В одной системе координат построим два графика функции у= (игрек равен пяти в степени икс и игрек равен одна двадцать пятая) рис.8. Графики пересекаются в одной точке Т (-2;(тэ с координатами минус два; одна двадцать пятая). Значит, корнем уравнения является х=-2(число минус два).
Пример 3: Решите неравенство
В одной системе координат построим два графика функции у=
(игрек равен три в степени икс и игрек равен двадцати семи).
Рис.9 График функции расположен выше графика функции у=при
х Следовательно, решением неравенства является интервал (от минус бесконечности до трех)
Пример 4: Решите неравенство
В одной системе координат построим два графика функции у= (игрек равен одна четвертая в степени икс и игрек равен шестнадцати). (рис.10). Графики пересекаются в одной точке К (-2;16). Значит, решением неравенства является промежуток (-2;(от минус двух до плюс бесконечности), т.к. график функции у=расположен ниже графика функции при х
Наши рассуждения позволяют убедиться в справедливости следующих теорем:
Терема 1: Если справедливо тогда и только тогда, когда m=n.
Теорема 2: Если справедливо тогда и только тогда, когда, неравенство справедливо тогда и только тогда, когда (рис. *)
Теорема 4: Если справедливо тогда и только тогда, когда (рис.**), неравенство справедливо тогда и только тогда, когда.Теорема 3: Если справедливо тогда и только тогда, когда m=n.
Пример 5: Построить график функции у=
Видоизменим функцию, применив свойство степени у=
Построим дополнительную систему координат и в новой системе координат построим график функции у= (игрек равен два в степени икс) рис.11.
Пример 6: Решите уравнение
В одной системе координат построим два графика функции у=
(игрек равен семи в степени икс и игрек равен восемь минус икс) рис.12.
Графики пересекаются в одной точке Е (1;(е с координатами один; семь). Значит, корнем уравнения является х=1(икс равный единице).
Пример 7: Решите неравенство
В одной системе координат построим два графика функции у=
(игрек равен одна четвертая в степени икс и игрек равен икс плюс пять). График функции у=расположен ниже графика функции у=х+5 при, решением неравенства является интервал х(от минус единицы до плюс бесконечности).
Гипермаркет знаний >>Математика >>Математика 10 класс >>
Показательная функция, ее свойства и график
Рассмотрим выражение 2х и найдем его значения при различных рациональных значениях переменной х, например, при х=2;
Вообще, какое бы рациональное значение мы ни придали переменной х, всегда можно вычислить соответствующее числовое значение выражения 2 х. Таким образом, можно говорить о показательной функции у=2 х, определенной на множестве Q рациональных чисел:
Рассмотрим некоторые свойства этой функции.
Свойство 1.
- возрастающая функция. Доказательство осуществим в два этапа.
Первый этап.
Докажем, что если r - положительное рациональное число, то 2 r >1.
Возможны два случая: 1) r - натуральное число, r = n; 2) обыкновенная несократимая дробь
,
В левой части последнего неравенства имеем , а в правой 1. Значит, последнее неравенство можно переписать в виде
Итак, в любом случае выполняется неравенство 2 г > 1, что и требовалось доказать.
Второй этап.
Пусть x 1 и x 2 - числа, причем x 1 и x 2 < х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:
(мы обозначили разность х 2 -х 1 буквой r).
Так как r- положительное рациональное число, то по доказанному на первом этапе 2 r > 1, т.е. 2 r -1 >0. Число2х" также положительно, значит, положительным является и произведение 2 x-1 (2 Г -1). Тем самым мы доказали, что справедливо неравенство 2 Хг -2х" >0.
Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.
Свойство 2.
ограничена снизу и не ограничена сверху.
Ограниченность функции снизу следует из неравенства 2 х >0, справедливого для любых значений х из области определения функции. В то же время какое бы положительное число М ни взять, всегда можно подобрать такой показатель х, что будет выполняться неравенство 2 х >М - что и характеризует неограниченность функции сверху. Приведем ряд примеров.
Свойство 3.
не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений.
То, что данная функция не имеет наибольшего значения, очевидно, поскольку она, как мы только что видели, не ограничена сверху. Но снизу она ограничена, почему же у нее нет наименьшего значения?
Предположим, что 2 г - наименьшее значение функции (r - некоторый рациональный показатель). Возьмем рациональное число q <г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.
Все это хорошо, скажете вы, но почему мы рассматриваем функцию у-2 х только на множестве рациональных чисел, почему мы не рассматриваем ее, как другие известные функции на всей числовой прямой или на каком-либо сплошном промежутке числовой прямой? Что нам мешает? Обдумаем ситуацию.
Числовая прямая содержит не только рациональные, но и иррациональные числа. Для изученных ранее функций это нас не смущало. Например, значения функции у = х 2 мы одинаково легко находили как при рациональных, так и при иррациональных значениях х: достаточно было заданное значение х возвести в квадрат.
А вот с функцией у=2 x дело обстоит сложнее. Если аргументу х придать рациональное значение, то в принципе x вычислить можно (вернитесь еще раз к началу параграфа, где мы именно это и делали). А если аргументу х придать иррациональное значение? Как, например, вычислить? Этого мы пока не знаем.
Математики нашли выход из положения; вот как они рассуждали.
Известно, что 
Рассмотрим последовательность рациональных чисел - десятичных приближений числа по недостатку:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .
Ясно, что 1,732 = 1,7320, а 1,732050 = 1,73205. Во избежание подобных повторов отбросим те члены последовательности, которые заканчиваются цифрой 0.
Тогда получим возрастающую последовательность:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .
Соответственно возрастает и последовательность
Все члены этой последовательности - положительные числа, меньшие, чем 22, т.е. эта последовательность - ограниченная. Апо теореме Вейерштрасса (см. § 30), если последовательность возрастает и ограничена, то она сходится. Кроме того, из § 30 нам известно, что если последовательность сходится, то только к одному пределу. Этот единственный предел договорились считать значением числового выражения . И неважно, что найти даже приб-лиженное значение числового выражения 2 очень трудно; важно, что это - конкретное число (в конце концов, мы же не боялись говорить, что, например, - корень рационального уравнения, 
корень тригонометрического уравнения, не особенно задумываясь над тем, а что же это конкретно за числа: 
Итак, мы выяснили, какой смысл вкладывают математики в символ 2^. Аналогично можно определить, что такое и вообще, что такое а a , где а - иррациональное число и а > 1.
А как быть в случае, когда 0 <а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Теперь мы можем говорить не только о степенях с произвольными рациональными показателями, но и о степенях с произвольными действительными показателями. Доказано, что степени с любыми действительными показателями обладают всеми привычными свойствами степеней: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, при делении - вычитаются, при возведении степени в степень - перемножаются и т.д. Но самое главное, что теперь мы можем говорить о функции у-ах, определенной на множестве всех действительных чисел.
Вернемся к функции у = 2 х, построим ее график. Для этого составим таблицу значений функции у=2 x:
Отметим точки на координатной плоскости (рис. 194), они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 195).
Свойства функции у - 2 х:
1)
2) не является ни четной, ни нечетной; 248
3) возрастает;
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6) непрерывна;
7)
8) выпукла вниз.
Строгие доказательства перечисленных свойств функции у-2 х приводят в курсе высшей математики. Часть этих свойств мы в той или иной мере обсудили ранее, часть из них наглядно демонстрирует построенный график (см. рис. 195). Например, отсутствие четности или нечетности функции геометрически связано с отсутствием симметрии графика соответственно относительно оси у или относительно начала координат.
Аналогичными свойствами обладает любая функция вида у=а х, где а >1. На рис. 196 в одной системе координат построены, графики функций у=2 х, у=3 х, у=5 х.
Рассмотрим теперь функцию , составим для нее таблицу значений:
Отметим точки на координатной плоскости (рис. 197), они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 198).
Свойства функции
1)
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) убывает;
4) не ограничена сверху, ограничена снизу;
5) нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6) непрерывна;
7)
8) выпукла вниз.
Аналогичными свойствами обладает любая функция вида у=а х, гдеО <а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций 
Обратите внимание: графики функций 
т.е. у=2 х, симметричны относительно оси у (рис. 201). Это - следствие общего утверждения (см. § 13): графики функций у = f(х) и у = f(-х) симметричны относительно оси у. Аналогично будут симметричны относительно оси у графики функций у = 3 х и
Подводя итог сказанному, дадим определение показательной функции и выделим наиболее важные ее свойства.
Определение.
Функцию вида называют показательной функцией.
Основные свойства показательной функции у =а x
График функции у=а х для а> 1 изображен на рис. 201, а для 0 <а < 1 - на рис. 202.
Кривую, изображенную на рис. 201 или 202, называют экспонентой. На самом деле математики экспонентой обычно.называют саму показательную функцию у=а х. Так что термин "экспонента" используется в двух смыслах: и для наименования показательной функции, и для названия графика показательной функции. Обычно по смыслу бывает ясно, идет речь о показательной функции или о ее графике.
Обратите внимание на геометрическую особенность графика показательной функции у=ах: ось х является горизонтальной асимптотой графика. Правда, обычно это утверждение уточняют следующим образом.
Ось х является горизонтальной асимптотой графика функции
Иными словами
Первое важное замечание. Школьники часто путают термины: степенная функция, показательная функция. Сравните:
Это примеры степенных функций;
- это примеры показательных функций.
Вообще, у = х г, где г - конкретное число, - степенная функция (аргумент х содержится в основании степени);
у = а", где а - конкретное число (положительное и отличное от 1), - показательная функция (аргумент х содержится в показателе степени).
Атакую «экзотическую» функцию, как у = х", не считают ни показательной, ни степенной (ее иногда называют показательно-степенной).
Второе важное замечание. Обычно не рассматривают показательную функцию с основанием а = 1 или с основанием а, удовлетворяющим неравенству а <0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0и а Дело в том, что если а = 1, то для любого значения х выполняется равенство Iх = 1. Таким образом, показательная функция у = а" при а = 1 «вырождается» в постоянную функцию у = 1 - это неинтересно. Если а = 0, то 0х = 0 для любого положительного значения х, т.е. мы получаем функцию у = 0, определенную при х >0, - это тоже неинтересно. Если, наконец, а <0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.
Прежде чем переходить к решению примеров, заметим, что показательная функция существенно отличается от всех функций, которые вы изучали до сих пор. Чтобы основательно изучить новый объект, надо рассмотреть его с разных сторон, в разных ситуациях, поэтому примеров будет много.
Пример 1.
Решение , а) Построив в одной системе координат графики функций у = 2 х и у = 1, замечаем (рис. 203), что они имеют одну общую точку (0; 1). Значит, уравнение 2х = 1 имеет единственный корень х =0.
Итак, из уравнения 2х =2° мы получили х=0.
б) Построив в одной системе координат графики функций у = 2 х и у=4, замечаем (рис. 203), что они имеют одну общую точку (2; 4). Значит, уравнение 2х =4 имеет единственный корень х=2.
Итак, из уравнения 2 х =2 2 мы получили х=2.
в) и г) Исходя из тех же соображений, делаем вывод, что уравнение 2 х =8 имеет единственный корень, причем для его отыскания графики соответствующих функций можно и не строить;
ясно, что х=3, поскольку 2 3 =8. Аналогично находим единственный корень уравнения
Итак, из уравнения 2х = 2 3 мы получили х = 3, а из уравнения 2 х = 2 x мы получили х = -4.
д) График функции у = 2 х расположен выше графика функции у = 1 при x >0 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х > 1 служит промежуток
е) График функции у = 2 x расположен ниже графика функции у = 4 при х<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Вы заметили, наверное, что в основе всех выводов, сделанных при решении примера 1, лежало свойство монотонности (возрастания) функции у=2 х. Аналогичные рассуждения позволяют убедиться в справедливости следующих двух теорем.
Решение. Можно действовать так: построить график функции у-3 х, затем осуществить его растяжение от оси х с коэффициентом 3, а затем полученный график поднять вверх на 2 единицы масштаба. Но удобнее воспользоваться тем, что 3- 3* =3 *+1, и, следовательно, строить график функции у=З х*1 + 2.
Перейдем, как неоднократно уже делали в таких случаях, к вспомогательной системе координат с началом в точке (-1; 2) - пунктирные прямые х = - 1 и 1x = 2 на рис. 207. «Привяжем» функцию у=3* к новой системе координат. Для этого выберем контрольные точки для функции 
, но строить их будем не в старой, а в новой системе координат (эти точки отмечены на рис. 207). Затем по точкам построим экспоненту - это и будет требуемый график (см. рис. 207).
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения заданной функции на отрезке [-2, 2], воспользуемся тем, что заданная функция возрастает, а потому свои наименьшее и наибольшее значения она принимает соответственно в левом и правом концах отрезка.
Итак:
Пример 4. Решить уравнение и неравенства:
Решение , а) Построим в одной системе координат графики функций у=5* и у=6-х (рис. 208). Они пересекаются в одной точке; судя по чертежу, это - точка (1; 5). Проверка показывает, что на самом деле точка (1; 5) удовлетворяет и уравнению у = 5*, и уравнению у=6-х. Абсцисса этой точки служит единственным корнем заданного уравнения.
Итак, уравнение 5 х = 6- х имеет единственный корень х = 1.
б) и в) Экспонента у- 5х лежит выше прямой у=6-х, если х>1, - это хорошо видно на рис. 208. Значит, решение неравенства5*>6-х можно записать так: х>1. А решение неравенства 5х <6 - х можно записать так: х < 1.
Ответ: а)х = 1; б)х>1; в)х<1.
Пример 5.
Дана функция 
Доказать, что 
Решение.
По условию Имеем.
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ VIII
§ 179 Основные свойства показательной функции
В этом параграфе мы изучим основные свойства показательной функции
у = а x (1)
Напомним, что под а в формуле (1) мы подразумеваем любое фиксированное положительное число, отличное от 1.
Свойство 1. Областью определения показательной функции является совокупность всех действительных чисел.
В самом деле, при положительном а выражение а x определено для любого действительного числа х .
Свойство 2 . Показательная функция принимает только положительные значения.
Действительно, если х > 0, то, как было доказано в § 176,
а x > 0.
Если же х <. 0, то
а x =
где - х уже больше нуля. Поэтому а - x > 0. Но тогда и
а x = > 0.
Наконец, при х = 0
а x = 1.
2-е свойство показательной функции имеет простое графическое истолкование. Оно заключается в том, что график этой функции (см. рис. 246 и 247) располагается целиком выше оси абсцисс.
Свойство 3 . Если а >1, то при х > 0 а x > 1, а при х < 0 а x < 1. Если же а < 1, то, наоборот, при х > 0 а x < 1, а при х < 0 а x > 1.
Это свойство показательной функции также допускает простую геометрическую интерпретацию. При а > 1 (рис. 246) кривые у = а x располагаются выше прямой у = 1 при х > 0 и ниже прямой у = 1 при х < 0.
Если же а < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые у = а x располагаются ниже прямой у = 1 при х > 0 и выше этой прямой при х < 0.
Приведем строгое доказательство 3-го свойства. Пусть а > 1 и х - произвольное положительное число. Покажем, что
а x > 1.
Если число х рационально (х = m / n ) , то а x = а m / n = n √a m .
Поскольку а > 1, то и а m > 1, Но корень из числа, большего единицы, очевидно, также больше 1.
Если х иррационально, то существуют положительные рациональные числа х" и х" , которые служат десятичными приближениями числа x :
х" < х < х" .
Но тогда по определению степени с иррациональным показателем
а x" < а x < а x"" .
Как показано выше, число а x" больше единицы. Поэтому и число а x , большее, чем а x" , также должно быть больше 1,
Итак, мы показали, что при a >1 и произвольном положительном х
а x > 1.
Если бы число х было отрицательным, то мы имели бы
а x =
где число -х было бы уже положительным. Поэтому а - x > 1. Следовательно,
а x = < 1.
Таким образом, при а > 1 и произвольном отрицательном x
а x < 1.
Случай, когда 0 < а < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.
Свойство 4. Если х = 0, то независимо от а а x =1.
Это вытекает из определения нулевой степени; нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1. Графически это свойство выражается в том, что при любом а кривая у = а x (см. рис. 246 и 247) пересекает ось у в точке с ординатой 1.
Свойство 5. При а >1 показательная функция у = а x является монотонно возрастающей, а при а < 1 - монотонно убывающей.
Это свойство также допускает простую геометрическую интерпретацию.
При а > 1 (рис. 246) кривая у = а x с ростом х поднимается все выше и выше, а при а < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.
Приведем строгое доказательство 5-гo свойства.
Пусть а > 1 и х 2 > х 1 . Покажем, что
а x 2 > а x 1
Поскольку х 2 > х 1 ., то х 2 = х 1 + d , где d -некоторое положительное число. Поэтому
а x 2 - а x 1 = а x 1 + d - а x 1 = а x 1 (а d - 1)
По 2-му свойству показательной функции а x 1 > 0. Так как d > 0, то по 3-му свойству показательной функции а d > 1. Оба множителя в произведении а x 1 (а d - 1) положительны, поэтому и само это произведение положительно. Значит, а x 2 - а x 1 > 0, или а x 2 > а x 1 , что и требовалось доказать.
Итак, при a > 1 функция у = а x является монотонно возрастающей. Аналогично доказывается, что при а < 1 функция у = а x является монотонно убывающей.
Следствие. Если две степени одного и того же положительного числа, отличного от 1, равны, то равны и их показатели.
Другими словами, если
а b = а c (а > 0 и а =/= 1),
b = с .
Действительно, если бы числа b и с были не равны, то в силу монотонности функции у = а x большему из них соответствовало бы при а >1 большее, а при а < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или а b > а c , или а b < а c . И то и другое противоречит условию а b = а c . Остается признать, что b = с .
Свойство 6. Если а > 1, то при неограниченном возрастании аргумента х (х -> ∞ ) значения функции у = а x также неограниченно растут (у -> ∞ ). При неограниченном убывании аргумента х (х -> -∞ ) значения этой функции стремятся к нулю, оставаясь при этом положительными (у ->0; у > 0).
Принимая во внимание доказанную выше монотонность функции у = а x , можно сказать, что в рассматриваемом случае функция у = а x монотонно возрастает от 0 до ∞ .
Если 0 < а < 1, то при неограниченном возрастании аргумента х (х -> ∞) значения функции у = а x стремятся к нулю, оставаясь при этом положительными (у ->0; у > 0). При неограниченном убывании аргумента х (х -> -∞ ) значения этой функции неограниченно растут (у -> ∞ ).
В силу монотонности функции у = а x можно сказать, что в этом случае функция у = а x монотонно убывает от ∞ до 0.
6-е свойство показательной функции наглядно отражено на рисунках 246 и 247. Строго доказывать его мы не будем.
Нам осталось лишь установить область изменения показательной функции у = а x (а > 0, а =/= 1).
Выше мы доказали, что функция у = а x принимает только положительные значения и либо монотонно возрастает от 0 до ∞ (при а > 1), либо монотонно убывает от ∞ до 0 (при 0 < а <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция у = а x при своем изменении каких-нибудь скачков? Любые ли положительные значения она принимает? Вопрос этот решается положительно. Ecли а > 0 и а =/= 1, то, каково бы ни было положительное число у 0 обязательно найдется х 0 , такое, что
а x 0 = у 0 .
(В силу монотонности функции у = а x указанное значение х 0 будет, конечно, единственным.)
Доказательство этого факта выходит за пределы нашей программы. Геометрическая интерпретация его состоит в том, что при любом положительном значении у 0 график функции у = а x обязательно пересечется с прямой у = у 0 и притом лишь в одной точке (рис. 248).
Отсюда можно сделать следующий вывод, который мы формулируем в виде свойства 7.
Свойство 7. Областью изменения показательной функции у = а x (а > 0, а =/= 1) служит множество всех положительных чисел.
Упражнения
1368. Найти области определения следующих функций:
1369. Какие из данных чисел больше 1 и какие меньше 1:
1370. На основании какого свойства показательной функции можно утверждать, что
а) (5 / 7) 2,6 > (5 / 7) 2,5 ; б) (4 / 3) 1,3 > (4 / 3) 1,2
1371. Какое число больше:
а) π - √3 или (1 / π ) - √3 ; в) (2 / 3) 1 + √6 или (2 / 3) √2 + √5 ;
б) ( π / 4) 1 + √3 или ( π / 4) 2 ; г) (√3 ) √2 - √5 или (√3 ) √3 - 2 ?
1372. Равносильны ли неравенства:
1373. Что можно сказать о числах х и у , если а x = а y , где а - заданное положительное число?
1374. 1) Можно ли среди всех значений функции у = 2 x выделить:
2) Можно ли среди всех значений функции у = 2 | x| выделить:
а) наибольшее значение; б) наименьшее значение?
Решение большинства математических задач так или иначе связано с преобразованием числовых, алгебраических или функциональных выражений. Сказанное в особенности относится к решению . В вариантах ЕГЭ по математике к такому типу задач относится, в частности, задача C3. Научиться решать задания C3 важно не только с целью успешной сдачи ЕГЭ, но и по той причине, что это умение пригодится при изучении курса математики в высшей школе.
Выполняя задания C3, приходится решать различные виды уравнений и неравенств. Среди них — рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические, содержащие модули (абсолютные величины), а также комбинированные. В этой статье рассмотрены основные типы показательных уравнений и неравенств, а также различные методы их решений. О решении остальных видов уравнений и неравенств читайте в рубрике « » в статьях, посвященных методам решения задач C3 из вариантов ЕГЭ по математике.
Прежде чем приступить к разбору конкретных показательных уравнений и неравенств , как репетитор по математике, предлагаю вам освежить в памяти некоторый теоретический материал, который нам понадобится.
Функцию вида y = a x , где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией .
Основные свойства показательной функции y = a x :
Графиком показательной функции является экспонента :
Графики показательных функций (экспоненты)
Показательными называются уравнения, в которых неизвестная переменная находится только в показателях каких-либо степеней.
Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему:
Теорема 1. Показательное уравнение a f (x ) = a g (x ) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f (x ) = g (x ).
Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Пример 1. Решите уравнение:
Решение: используем приведенные выше формулы и подстановку:
Уравнение тогда принимает вид:
Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их:
Переходя к обратной подстановке, получаем:
Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Решаем второе:
С учетом сказанного в теореме 1 переходим к эквивалентному уравнению: x = 3. Это и будет являться ответом к заданию.
Ответ: x = 3.
Пример 2. Решите уравнение:
Решение: ограничений на область допустимых значений у уравнения нет, так как подкоренное выражение имеет смысл при любом значении x (показательная функция y = 9 4 -x положительна и не равна нулю).
Решаем уравнение путем равносильных преобразований с использованием правил умножения и деления степеней:
Последний переход был осуществлен в соответствии с теоремой 1.
Ответ: x = 6.
Пример 3. Решите уравнение:
Решение: обе части исходного уравнения можно поделить на 0,2 x . Данный переход будет являться равносильным, поскольку это выражение больше нуля при любом значении x (показательная функция строго положительна на своей области определения). Тогда уравнение принимает вид:
Ответ: x = 0.
Пример 4. Решите уравнение:
Решение: упрощаем уравнение до элементарного путем равносильных преобразований с использованием приведенных в начале статьи правил деления и умножения степеней:
Деление обеих частей уравнения на 4 x , как и в предыдущем примере, является равносильным преобразованием, поскольку данное выражение не равно нулю ни при каких значениях x .
Ответ: x = 0.
Пример 5. Решите уравнение:
Решение: функция y = 3 x , стоящая в левой части уравнения, является возрастающей. Функция y = —x -2/3, стоящая в правой части уравнения, является убывающей. Это означает, что если графики этих функций пересекаются, то не более чем в одной точке. В данном случае нетрудно догадаться, что графики пересекаются в точке x = -1. Других корней не будет.
Ответ: x = -1.
Пример 6. Решите уравнение:
Решение: упрощаем уравнение путем равносильных преобразований, имея в виду везде, что показательная функция строго больше нуля при любом значении x и используя правила вычисления произведения и частного степеней, приведенные в начале статьи:
Ответ: x = 2.
Показательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней.
Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы:
Теорема 2. Если a > 1, то неравенство a f (x ) > a g (x ) равносильно неравенству того же смысла: f (x ) > g (x ). Если 0 < a < 1, то показательное неравенство a f (x ) > a g (x ) равносильно неравенству противоположного смысла: f (x ) < g (x ).
Пример 7. Решите неравенство:
Решение: представим исходное неравенство в виде:
Разделим обе части этого неравенства на 3 2x , при этом (в силу положительности функции y = 3 2x ) знак неравенства не изменится:
Воспользуемся подстановкой:
Тогда неравенство примет вид:
Итак, решением неравенства является промежуток:
переходя к обратной подстановке, получаем:
Левое неравенства в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству:
Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:
Итак, окончательно получаем ответ:
Пример 8. Решите неравенство:
Решение: используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в виде:
Введем новую переменную:
С учетом этой подстановки неравенство принимает вид:
Умножим числитель и знаменатель дроби на 7, получаем следующее равносильное неравенство:
Итак, неравенству удовлетворяют следующие значения переменной t :
Тогда, переходя к обратной подстановке, получаем:
Поскольку основание степени здесь больше единицы, равносильным (по теореме 2) будет переход к неравенству:
Окончательно получаем ответ:
Пример 9. Решите неравенство:
Решение:
Делим обе части неравенства на выражение:
Оно всегда больше нуля (из-за положительности показательной функции), поэтому знак неравенства изменять не нужно. Получаем:
t , находящиеся в промежутке:
Переходя к обратной подстановке получаем, что исходное неравенство распадается на два случая:
Первое неравенство решений не имеет в силу положительности показательной функции. Решаем второе:
Пример 10. Решите неравенство:
Решение:
Ветви параболы y = 2x +2-x 2 направлены вниз, следовательно она ограничена сверху значением, которое она достигает в своей вершине:
Ветви параболы y = x 2 -2x +2, стоящей в показателе, направлены вверх, значит она ограничена снизу значением, которое она достигает в своей вершине:
Вместе с этим ограниченной снизу оказывается и функция y = 3 x 2 -2x +2 , стоящая в правой части уравнения. Она достигает своего наименьшего значения в той же точке, что и парабола, стоящая в показателе, и это значение равно 3 1 = 3. Итак, исходное неравенство может оказаться верным только в том случае, если функция слева и функция справа принимают в одной точке значение, равное 3 (пересечением областей значений этих функций является только это число). Это условие выполняется в единственной точке x = 1.
Ответ: x = 1.
Для того, чтобы научиться решать показательные уравнения и неравенства, необходимо постоянно тренироваться в их решении. В этом нелегком деле вам могут помочь различные методические пособия, задачники по элементарной математике, сборники конкурсных задач, занятия по математике в школе, а также индивидуальные занятия с профессиональным репетитором. Искренне желаю вам успехов в подготовке и блестящих результатов на экзамене.
Сергей Валерьевич
P. S. Уважаемые гости! Пожалуйста, не пишите в комментариях заявки на решение ваших уравнений. К сожалению, на это у меня совершенно нет времени. Такие сообщения будут удалены. Пожалуйста, ознакомьтесь со статьёй. Возможно, в ней вы найдёте ответы на вопросы, которые не позволили вам решить своё задание самостоятельно.
Показательная функция
- это обобщение произведения n
чисел, равных a
:
y(n)
= a n = a·a·a···a
,
на множество действительных чисел x
:
y(x)
= a x
.
Здесь a
- фиксированное действительное число, которое называют основанием показательной функции
.
Показательную функцию с основанием a
также называют экспонентой по основанию a
.
Обобщение выполняется следующим образом.
При натуральном x = 1, 2, 3,...
,
показательная функция является произведением x
множителей:
.
При этом она обладает свойствами (1.5-8) (), которые следуют из правил умножения чисел. При нулевом и отрицательных значениях целых чисел ,
показательную функцию определяют по формулам (1.9-10). При дробных значениях x = m/n
рациональных чисел, ,
ее определяют по формуле(1.11). Для действительных ,
показательную функцию определяют как предел последовательности:
,
где - произвольная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к x
:
.
При таком определении, показательная функция определена для всех ,
и удовлетворяет свойствам (1.5-8), как и для натуральных x
.
Строгая математическая формулировка определения показательной функции и доказательство ее свойств приводится на странице «Определение и доказательство свойств показательной функции ».
Показательная функция y = a x
,
имеет следующие свойства на множестве действительных чисел ()
:
(1.1)
определена и непрерывна, при ,
для всех ;
(1.2)
при a ≠ 1
имеет множество значений ;
(1.3)
строго возрастает при ,
строго убывает при ,
является постоянной при ;
(1.4)
при ;
при ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Другие полезные формулы.
.
Формула преобразования к показательной функции с другим основанием степени:
При b = e
,
получаем выражение показательной функции через экспоненту:
, , , , .
На рисунке представлены графики показательной функции
y(x)
= a x
для четырех значений основания степени
: a = 2
,
a = 8
,
a = 1/2
и a = 1/8
.
Видно, что при a > 1
показательная функция монотонно возрастает. Чем больше основание степени a
,
тем более сильный рост. При 0
< a < 1
показательная функция монотонно убывает. Чем меньше показатель степени a
,
тем более сильное убывание.
Показательная функция, при является строго монотонной, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.
| y = a x , a > 1 | y = a x , 0 < a < 1 | |
| Область определения | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Область значений | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| Монотонность | монотонно возрастает | монотонно убывает |
| Нули, y = 0 | нет | нет |
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 1 | y = 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
Обратной для показательной функции с основанием степени a является логарифм по основанию a .
Если ,
то
.
Если ,
то
.
Для дифференцирования показательной функции, ее основание нужно привести к числу e , применить таблицу производных и правило дифференцирования сложной функции.
Для этого нужно использовать свойство логарифмов
и формулу из таблицы производных :
.
Пусть задана показательная функция:
.
Приводим ее к основанию e
:
Применим правило дифференцирования сложной функции . Для этого вводим переменную
Тогда
Из таблице производных имеем (заменим переменную x
на z
):
.
Поскольку - это постоянная, то производная z
по x
равна
.
По правилу дифференцирования сложной функции:
.
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >
Найти производную функции
y = 3
5
x
Решение
Выразим основание показательной функции через число e
.
3
= e ln 3
Тогда
.
Вводим переменную
.
Тогда
Из таблицы производных находим:
.
Поскольку 5ln 3
- это постоянная, то производная z
по x
равна:
.
По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
.
Ответ
Рассмотрим функцию комплексного числа z
:
f(z)
= a z
где z = x + iy
;
i 2 = - 1
.
Выразим комплексную постоянную a
через модуль r
и аргумент φ
:
a = r e i φ
Тогда
.
Аргумент φ
определен не однозначно. В общем виде
φ = φ 0 + 2
πn
,
где n
- целое. Поэтому функция f(z)
также не однозначна. Часто рассматривают ее главное значение
.
.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
