В конце 17 века в Европе образовались две крупные математические школы. Главой одной из них был Готфрид Вильгельм фон Лейбниц. Его ученики и сотрудники – Лопиталь, братья Бернулли, Эйлер жили и творили на континенте. Вторая школа, возглавляемая Исааком Ньютоном, состояла из английских и шотландских ученых. Обе школы создали новые мощные алгоритмы, приведшие по сути к одним и тем же результатам – к созданию дифференциального и интегрального исчисления.
Ряд задач дифференциального исчисления был решен еще в древности. Такие задачи можно найти у Евклида и у Архимеда, однако основное понятие – понятие производной функции – возникло только в17 веке в связи с необходимостью решить ряд задач из физики, механики и математики, в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного неравномерного движения и построения касательной к произвольной плоской кривой.
Мы уже знаем, что основоположниками анализа бесконечно малых были Ньютон и Лейбниц. Существенно использовав результаты своих многочисленных предшественников, они обобщали и систематизировали их, а главное, ввели основные понятия анализа и создали соответствующую символику и соответствующие методы.
Исаак Ньютон (1643−1727) родился в небольшом местечке Вулсторп, примерно в 200 километрах к северу от Лондона, в семье мелкого земельного арендатора. Окончил общественную школу в соседнем городке. На школьной скамье сделал несколько технических изобретений: построил миниатюрную ветряную мельницу, причем действующую, позднее – водяные часы, самокат и др. В возрасте 18 лет поступил в Кембриджский университет, в один из его колледжей – Тринити-колледж. В связи с плохим материальным положением Ньютон был освобожден от платы за обучение, но попал на низшую ступень студенчества. Студенты этой категории должны были обслуживать более состоятельных студентов: подавать блюда в столовой, чистить одежду и обувь и т. п. Университетским учителем Ньютона был И. Барроу, который вскоре заметил талантливого студента. Барроу читал в университете элементарный курс математики, хотя знал в математике гораздо больше, поэтому Ньютон был в этой области самоучкой.
Ньютон собирался женится. Но в это время уже определилась его университетская карьера, а профессора колледжа по средневековой традиции должны были оставаться холостыми. Ньютон без колебаний отказался от женитьбы.
Главными его научными занятиями стали механика, физика, математика и астрономия. Сам он считал своей основной научной областью физику, а математику разрабатывал в первую очередь для использования в физике.
В 1664−1666 гг. в Англии свирепствовала эпидемия чумы. Занятия в учебных заведениях были прекращены, и Ньютон уехал в родные места, где отдался научной работе. Это был наиболее плодотворный период в его жизни, в течение которого он сделал свои основные открытия в математике и физике. Затем он был оставлен при университете и вскоре стал профессором вместо Барроу. Ньютон дважды избирался в парламент. Был назначен директором Монетного двора и здесь проявил хорошие организаторские способности. Королева произвела его в рыцарское звание. С 1703 г. Ньютон – президент Британского королевского общества.
Важнейшие его научные работы: « Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов», «Метод флюксий и бесконечных рядов», «Математические начала натуральной философии», «Рассуждение о квадратуре кривых», «Оптика», «Перечисление кривых третьего порядка» и др.
Однако при жизни Ньютона были изданы, главным образом, его работы по математике и физике. Что касается работ по анализу бесконечных малых, то они были изданы или в последние годы его жизни, или даже после смерти. Дело в том, что Ньютон не был удовлетворен уровнем строгости своих доказательств и хотел найти более строгие, более убедительные доказательства соответствующих теорем, но это ему не удавалось.
Из работ по математике и физике наибольшей известностью пользуется сочинение «Математические начала натуральной философии», изданное в 1687 г.В нем излагаются математические основы механики. Сначала даются определения количества материи, количества движения, различного рода сил и т. п., а затем формулируются три аксиомы, или закона, движения: закон инерции; закон, выражаемый формулой масса тела,ускорение движения; закон равенства действия и противодействия. Отсюда выводятся шесть следствий: о параллелограмме сложения сил, о движении центра тяжести системы материальных точек и др., а затем последовательно развивается большая система предложений общей и небесной механики. Следовательно, Ньютон впервые строит механику на аксиоматической основе. « Математические начала» явились отправным пунктом всего дальнейшего прогресса математического естествознания.
Занимаясь исчислением бесконечно малых, Ньютон узнал, что той же областью математики занимался Лейбниц. Первые свои результаты по анализу получил Ньютон, но первым свои статьи, посвященные этой теме, опубликовал Лейбниц. Анализ бесконечно малых у Ньютона и Лейбница выглядел совершенно по-разному, и справедливо считать его основоположниками обоих ученых.
Дифференциальное исчисление у Ньютона называется исчислением флюксий. Переменную величину он называет флюэнтой (от лат. fluere – течь), а скорость изменения флюэнты – флюксией (fluxio – течение). Что такое скорость, он не определяет, вероятно, считая это понятие не нуждающимся в определении. Вообще анализ бесконечно малых Ньютон строит с помощью механики.
Общим аргументом флюэнт у него является время, но не обязательно физическое время, а любая величина, которая равномерно изменяется со временем. С современной точки зрения флюксии являются производными флюэнт по времени.
Позднее Ньютон стал обозначать флюэнты через а их флюксии – черезПоследние символы и сейчас используются в механике для обозначения производных по времени.
Основная проблема исчисления флюксий у Ньютона формулировалась так: по данному соотношению между флюэнтами найти соотношение между их флюксиями (т. е. по данному соотношению между функциями найти соотношение между их производными). Он решает ее на примере, но решение носит общий характер: оно применимо к любому алгебраическому уравнению, связывающему флюэнты.
Пример 1. Пусть уравнение с флюэнтами имеет вид
Для вывода соответствующего уравнения между флюксиями заменим в этом равенстве бесконечно малое приращение времени (т.е.. Будем иметь:
В последнем равенстве сумма членов, не содержит равна нулю на основании первоначального уравнения. Сократим остающиеся члены на(предполагая, чтоне равно нулю). Получим:
Теперь отбросим члены, все еще содержащие (принцип пренебрежения бесконечно малыми высших порядков):
Ньютон формулирует следующее правило: для того чтобы из уравнения с флюэнтами получить уравнение с флюксиями, нужно в каждом из членов каждую из флюэнт заменить ее флюксией и полученные произведения сложить. Например, флюксия степени равна
а флюксия произведения
Фактически здесь запрятаны правила дифференцирования суммы, разности, произведения, степенной функции с натуральным показателем м свойство вынесения постоянного множителя за знак производной.
Позднее Ньютон пытался дать этому правилу другое, более убедительное обоснование.
Если уравнение с флюэнтами содержит дроби или радикалы, то Ньютон использует обходной путь.
Пример2. Пусть уравнение с флюэнтами имеет следующий вид:
(1)
=u
(2)
Теперь по известному правилу будем иметь:
Равенства (2) приведем к виду
Выразим от сюда и подставим эти выражения в равенстве (4); кроме тогозаменим их выражениями из равенств (2).
Такое решение примера, конечно, не лучший выход из положения.
Подготовив аналитический аппарат, Ньютона приступает к геометрическим приложениям исчисления флюксий.
Определить наибольшие и наименьшие значения величин.
Сначала формулируется принцип остановки: « когда величина наибольшая или наименьшая, то она в этот момент не течет ни вперед, ни назад», т. е. не возрастает и не убывает. Отсюда правило: найти флюксию и приравнять ее нулю. Это лишь необходимый признак экстремума функции, достаточного признака у Ньютона нет.
Провести касательные к кривым.
Эту задачу Ньютон решает подобно Барроу, а также Ферма. Он получает формулуа отношениенаходит уже знакомым способом из уравнения кривой.
Определить величину кривизны кривой.
А эта задача была новой для математики того времени. На ее решении мы не останавливаемся.
В 1708 году вспыхнул печально известный спор Лейбница с Ньютоном о научном приоритете открытия дифференциального исчисления. Известно, что Лейбниц и Ньютон работали над дифференциальным исчислением параллельно и что в Лондоне Лейбниц ознакомился с некоторыми неопубликованными работами и письмами Ньютона, но пришёл к тем же результатам самостоятельно. Известно также, что Ньютон создал свою версию математического анализа, «метода флюксий» («флюксия» (англ. fluxion ) - термин Ньютона; первоначально обозначалась точкой над величиной; термин «флюксия» означает «производная»), не позднее 1665 года, хотя и опубликовал свои результаты лишь много лет спустя; Лейбниц же первым опубликовал исчисление бесконечно малых и разработал символику, которая оказалась настолько удобной, что её используют и на сегодняшний день.
Наш Валлис присоединил к своей «Алгебре», только что появившейся, некоторые из писем, которые я писал к тебе в своё время. При этом он потребовал от меня, чтобы я изложил открыто тот метод, который я в то время скрыл от тебя переставлением букв; я сделал это коротко, насколько мог. Надеюсь, что я при этом не написал ничего, что было бы тебе неприятно, если же это случилось, то прошу сообщить, потому что друзья мне дороже математических открытий.
После появления первой подробной публикации анализа Ньютона (математическое приложение к «Оптике», 1704) в журнале Лейбница «Acta eruditorum » появилась анонимная рецензия с оскорбительными намёками в адрес Ньютона; рецензия ясно указывала, что автором нового исчисления является Лейбниц, но сам Лейбниц решительно отрицал, что рецензия составлена им, однако историки нашли черновик, написанный его почерком. Ньютон проигнорировал статью Лейбница, но его ученики возмущённо ответили, после чего и разгорелась общеевропейская приоритетная война.
31 января 1713 года Королевское общество получило письмо от Лейбница, содержащее примирительную формулировку: он согласен, что Ньютон пришёл к анализу самостоятельно, «на общих принципах, подобных нашим»; Ньютон потребовал создать международную комиссию для прояснения научного приоритета. Лондонское королевское общество, рассмотрев дело, признало, что метод Лейбница в сущности тождествен методу Ньютона, и первенство было признано за английским математиком. 24 апреля 1713 года был произнесён этот приговор, раздосадовавший Лейбница.
Лейбница поддерживали братья Бернулли и многие другие математики континента; в Англии, а частично и во Франции, поддерживали Ньютона. Каролина Бранденбург-Ансбахская всеми силами, но безуспешно, пыталась примирить противников; она писала Лейбницу следующее:
С настоящим прискорбием вижу, что люди такой научной величины, как Вы и Ньютон, не могут помириться. Мир бесконечно мог бы выиграть, если бы можно было вас сблизить, но великие люди подобны женщинам, которые ссорятся из-за любовников. Вот моё суждение о вашем споре, господа!
В своём следующем письме она писала:
Удивляюсь, неужели, если Вы или Ньютон открыли одно и то же одновременно или один раньше, другой позднее, то из этого следует, чтобы вы растерзали друг друга! Вы оба - величайшие люди нашего времени. Доказывайте Вы нам, что мир не имеет нигде пустоты; Ньютон и Кларк пусть доказывают пустоту. Мы, графиня Бюккебург, Пёлльниц и я, будем присутствовать и изобразим в оригинале «Учёных женщин» Мольера.
В спор между Лейбницем и Ньютоном вмешивались разные третьестепенные учёные, из которых одни писали пасквили на Лейбница, а другие - на Ньютона. С лета 1713 года Европу наводнили анонимные брошюры, которые отстаивали приоритет Лейбница и утверждали, что «Ньютон присваивает себе честь, принадлежащую другому»; брошюры также обвиняли Ньютона в краже результатов Гука и Флемстида. Друзья Ньютона, со своей стороны, обвинили в плагиате самого Лейбница; по их версии, во время пребывания в Лондоне (1676) Лейбниц в Королевском обществе ознакомился с неопубликованными работами и письмами Ньютона, после чего изложенные там идеи Лейбниц опубликовал и выдал за свои.
Спор между Лейбницем и Ньютоном о научном приоритете стал известен как «наиболее постыдная склока во всей истории математики». Эта распря двух гениев дорого обошлась науке: английская математическая школа вскоре увяла на целый век, а европейская проигнорировала многие выдающиеся идеи Ньютона, переоткрыв их намного позднее.
Задолго до Ньютона и Лейбница многие философы и математики занимались вопросом о бесконечно малых, но ограничились лишь самыми элементарными выводами. Еще древние греки употребляли в геометрических исследованиях способ пределов, посредством которого вычисляли, например, площадь круга. Особенное развитие дал этому способу величайший математик древности Архимед, открывший с его помощью множество замечательных теорем. Кеплер и в этом отношении ближе всех подошел к открытию Ньютона. По случаю чисто житейского спора между покупщиком и продавцом из-за нескольких кружек вина Кеплер занялся геометрическим определением емкости бочкообразных тел. В этих исследованиях видно уже весьма отчетливое представление о бесконечно малых. Так, Кеплер рассматривал площадь круга как сумму бесчисленных весьма малых треугольников или, точнее, как предел такой суммы. Позднее тем же вопросом занялся итальянский математик Кавальери. В особенности много сделали в этой области французские математики XVII века Роберваль, Ферма и Паскаль. Но только Ньютон и несколько позднее Лейбниц создали настоящий метод, давший огромный толчок всем отраслям математических наук.
По замечанию Огюста Конта, дифференциальное исчисление, или анализ бесконечно малых величин, есть мост, перекинутый между конечным и бесконечным, между, человеком и природой: глубокое познание законов природы невозможно при помощи одного грубого анализа конечных величин, потому что в природе на каждом шагу — бесконечное, непрерывное, изменяющееся.
Ньютон создал свой метод, опираясь на прежние открытия, сделанные им в области анализа, но в самом главном вопросе он обратился к помощи геометрии и механики.
Когда именно Ньютон открыл свой новый метод, в точности неизвестно. По тесной связи этого способа с теорией тяготения следует думать, что он был выработан Ньютоном между 1666 и 1669 годами и во всяком случае раньше первых открытий, сделанных в этой области Лейбницем. «Математику Ньютон считал основным инструментом физических исследований, — отмечает В.А. Никифоровский, — и разрабатывал ее для многочисленных дальнейших приложений. После длительных размышлений он пришел к исчислению бесконечно малых на основе концепции движения; математика для него не выступала как абстрактный продукт человеческого ума. Он считал, что геометрические образы — линии, поверхности, тела — получаются в результате движения: линия — при движении точки, поверхность — при движении линии, тело — при движении поверхности. Эти движения осуществляются во времени, и за сколь угодно малое время точка, например, пройдет сколь угодно малый путь. Для нахождения мгновенной скорости, скорости в данный момент, необходимо найти отношение приращения пути (по современной терминологии) к приращению времени, а затем — предел этого отношения, т. е. взять «последнее отношение», когда приращение времени стремится к нулю. Так Ньютон ввел отыскание «последних отношений», производных, которые он называл флюксиями...
Использование теоремы о взаимной обратности операций дифференцирования и интегрирования, известной еще Барроу, и знание производных многих функций дало Ньютону возможность получить интегралы (по его терминологии, флюенты). Если интегралы непосредственно не вычислялись, Ньютон разлагал подынтегральную функцию в степенной ряд и интегрировал его почленно. Для разложения функций в ряды он чаще всего пользовался открытым им разложением бинома, применял и элементарные методы...»
Новый математический аппарат был апробирован ученым уже ко времени создания основного труда своей жизни — «Математических начал натуральной философии». В тот период Ньютон свободно владел дифференцированием, интегрированием, разложением в ряд, интегрированием дифференциальных уравнений, интерполированием.
«Свои открытия Ньютон, — продолжает В.А.Никифоровский, — сделал раньше Лейбница, но своевременно не опубликовал их; все его математические сочинения были изданы после того, как он стал знаменитым. Зимой 1664—1665 годов Ньютон нашел вид общего разложения бинома с произвольным показателем степени. В 1666 году он подготовил рукопись «Следующие предложения достаточны, чтобы решать задачи с помощью движения», содержащую основные открытия по математике. Рукопись осталась в черновом варианте и была опубликована только через триста лет.
В «Анализе с помощью уравнений с бесконечным числом членов», написанном в 1665 году, Ньютон изложил свои результаты в учении о бесконечно малых рядах, в приложении рядов к решению уравнений...
В 1670—1671 годах Ньютон стал готовить к изданию более полную работу — «Метод флюксий и бесконечных рядов». Издателя найти не удалось: в то время книги по математике приносили убыток. ...В «Методе флюксий» учение Ньютона выступает как система: рассматривается исчисление флюксий, приложение их к определению касательных, нахождению экстремумов, кривизны, вычисление квадратур, решение уравнений с флюксиями, что соответствует современным дифференциальным уравнениям».
Лишь в 1704 году вышел первый из всех трудов Ньютона по анализу — написанное им в 1665—1666 годах. Еще через семь лет опубликовали «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов». «Метод флюксий» увидел свет только после смерти автора в 1736 году.
Долгое время Ньютон и не подозревал, что на континенте успешно занимается подобной проблемой немец Лейбниц До поры до времени высоко ценившие заслуги друг друга, в конце концов, ученые втянулись в полемику о приоритете открытия исчисления бесконечно малых.
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716) родился в Лейпциге. Мать Лейбница, заботясь об образовании сына, отдала его в школу Николаи, считавшуюся в то время лучшей в Лейпциге. Готфрид целыми днями просиживал в отцовской библиотеке. Без разбора читал он Платона, Аристотеля, Цицерона, Декарта
Готфриду не было еще четырнадцати лет, когда он изумил своих школьных учителей, проявив талант, которого в нем никто не подозревал. Он оказался поэтом, — по тогдашним понятиям истинный поэт мог писать только по-латыни или по-гречески.
Пятнадцатилетним юношей Готфрид стал студентом Лейпцигского университета. Официально Лейбниц считался на юридическом факультете, но специальный круг юридических наук далеко не удовлетворял его. Кроме лекций по юриспруденции, он усердно посещал и многие другие, в особенности по философии и математике.
Желая пополнить свое математическое образование, Готфрид отправился в Иену, где славился математик Вейгель. Возвратившись в Лейпциг, Лейбниц блистательно выдержал экзамен на степень магистра «свободных искусств и мировой мудрости», то есть словесности и философии. Готфриду в то время не было и 18 лет. На следующий год, на время обратившись к математике, он пишет «Рассуждение о комбинаторном искусстве».
Осенью 1666 года Лейбниц уехал в Альторф, университетский город маленькой Нюрнбергской республики. Здесь 5 ноября 1666 года Лейбниц блистательно защитил докторскую диссертацию «О запутанных делах».
В 1667 году Готфрид отправился в Майнц к курфюрсту, которому был немедленно представлен. В течение пяти лет Лейбниц занимал видное положение при майнцском дворе Этот период в его жизни был временем оживленной литературной деятельности. Лейбниц написал целый ряд сочинений философского и политического содержания.
18 марта 1672 года Лейбниц выехал во Францию с важной дипломатической миссией. Знакомство с парижскими математиками в самое короткое время доставило Лейбницу те сведения, без которых он, при всей своей гениальности, никогда не смог бы достичь в области математики ничего истинно великого. Школа Ферма, Паскаля и Декарта была необходима будущему изобретателю дифференциального исчисления.
Настоящие занятия математикой начались для Лейбница лишь после посещения Лондона в 1675 году. По возвращении в Париж Лейбниц разделял свое время между занятиями математикой и работами философского характера. Математическое направление все более одерживало в нем верх над юридическим, точные науки привлекали его теперь более, чем диалектика римских юристов.
В последний год своего пребывания в Париже в 1676 году Лейбниц выработал первые основания великого математического метода, известного под названием «дифференциальное исчисление». Факты с достаточной убедительностью доказывают, что Лейбниц хотя и не знал о методе флюксий, но был подведен к открытию письмами Ньютона. С другой стороны, несомненно, что открытие Лейбница по общности, удобству обозначения и подробной разработке метода стало орудием анализа значительно могущественнее и популярнее Ньютонова метода флюксий. Даже соотечественники Ньютона, из национального самолюбия долгое время предпочитавшие метод флюксий, мало-помалу усвоили более удобные обозначения Лейбница; что касается немцев и французов, они даже слишком мало обратили внимания на способ Ньютона, в иных случаях сохранивший значение до настоящего времени.
Математический метод Лейбница находится в теснейшей связи с его позднейшим учением о монадах — бесконечно малых элементах, из которых он пытался построить Вселенную. Математическая аналогия, применение теории наибольших и наименьших величин к нравственной области дали Лейбницу то, что он считал путеводною нитью в нравственной философии.
Политическая деятельность Лейбница в значительной мере отвлекала его от занятий математикой. Тем не менее все свое свободное время он посвятил обработке изобретенного им дифференциального исчисления и в промежуток времени между 1677 и 1684 годами успел создать целую новую отрасль математики.
В 1684 году Лейбниц напечатал в журнале «Труды ученых» систематическое изложение начал дифференциального исчисления. Все опубликованные им трактаты, особенно последний, появившийся почти тремя годами раньше появления в свет первого издания «Начал» Ньютона, дали науке такой огромный толчок, что в настоящее время трудно даже оценить все значение реформы, произведенной Лейбницем в области математики. То, что смутно представлялось умам лучших французских и английских математиков, исключая Ньютона, обладавшего своим методом флюксий, стало вдруг ясным, отчетливым и общедоступным, чего нельзя сказать о гениальном методе Ньютона.
«Лейбниц в противовес конкретному, эмпиричному, осмотрительному Ньютону, — пишет В.П. Карцев, — был в области исчисления крупным систематиком, дерзким новатором. Он с юности мечтал создать символический язык, знаки которого отражали бы целые сцепления мыслей, давали бы исчерпывающую характеристику явления. Этот амбициозный и нереальный проект был, конечно, неосуществим; но он, видоизменившись, превратился в универсальную систему обозначений исчисления малых, которой мы пользуемся до сих пор. Он свободно оперирует знаками.., которые он справедливо считает знаками обратных операций, и обращается с ними столь же вольно и свободно, как с алгебраическими символами. Он легко оперирует производными высших порядков, в то время как Ньютон вводит флюксии высшего порядка строго ограниченно, если это необходимо для решения конкретной задачи.
Лейбниц видел в своих дифференциалах и интегралах всеобщий метод, сознательно стремился к созданию жесткого алгоритма упрощенного решения ранее не решавшихся задач.
Ньютон же нисколько не заботился о том, чтобы сделать свой метод общедоступным. Его символика введена им лишь для «внутреннего», личного потребления, он ее строго не придерживался».
Вот мнение советского математика А. Шибанова: «Склоняясь перед непререкаемым авторитетом своего великого соотечественника, английские ученые впоследствии канонизировали каждый штрих, каждую мельчайшую деталь его научной деятельности, даже введенные им для личного употребления математические знаки». «Над английской наукой тяготела традиция почитания Ньютона, и его обозначения, неуклюжие по сравнению с обозначениями Лейбница, затрудняли прогресс», — соглашается голландский ученый Д.Я. Стройк.
В письме, написанном в июне 1677 года, Лейбниц прямо раскрывал Ньютону свой метод дифференциального исчисления. Тот на письмо Лейбница не ответил. Ньютон считал, что открытие принадлежит ему навечно. При этом достаточно того, что оно было запрятано лишь в его голове. Ученый искренне считал: своевременная публикация не приносит никаких прав. Перед Богом первооткрывателем всегда останется тот, кто открыл первым.
Ньютон и Лейбниц
Как мы помним, еще во время эпидемии чумы, живя в деревне, Ньютон занимался исследованием бесконечно малых и, по всей видимости, еще тогда положил начало своему методу флюксий (интегральное и дифференциальное исчисления). Между тем занятость Ньютона другими областями науки и его нежелание публиковать недостаточно подготовленный материал привели к тому, что почти через сорок лет произошел спор о научном приоритете этого открытия между ним и Лейбницем.
Роберт Гук, основной оппонент Ньютона в вопросах оптики, умер в 1703 году. В 1704 году увидела свет «Оптика».
К изданию ученый приложил два небольших математических трактата, в которых наконец-то изложил свой метод флюксий. Они и стали причиной того, что тлевший ранее спор между Ньютоном и Лейбницем о приоритете этого метода разгорелся с новой силой. Тут требуется сделать небольшое отступление и рассказать о предшествующих событиях.
Изучением бесконечно малых Ньютон занялся еще под влиянием Барроу. Начало работы в этом направлении описывает в одном из писем сам Ньютон: «Намек на метод [метод флюксий] я получил из способа Ферма проведения касательных; применяя его к абстрактным уравнениям прямо и обратно, я сделал его общим. М-р Грегори и д-р Барроу применяли и улучшили этот метод проведения касательных. Одна моя статья послужила оказией для д-ра Барроу показать мне его метод касательных до включения его в 10-ю лекцию по геометрии. Ибо я - тот друг, о котором он там упоминает».
Но обнародовать свои открытия Ньютон не спешил. Только в конце 1672 года он написал письмо некоему Коллинзу. Поскольку в те времена периодических научных изданий не существовало, самым распространенным способом обмена информацией между учеными была переписка. Коллинз фактически выполнял задачи диспетчера этой переписки. Но даже в письме к Коллинзу осторожный Ньютон не излагал своего метода, а только сообщал о его открытии.
В 1673 году Лейбниц получил информацию о том, что Ньютон разработал некий новый метод, и начал свои исследования в этом направлении.
24 октября 1676 года Ньютон через посредника отправил письмо Лейбницу, в котором изложил сущность своего метода в зашифрованном виде. В те времена это был распространенный способ обеспечения приоритета. 21 июня следующего года Лейбниц ответил письмом, в котором без всяких шифров изложил основы дифференциального исчисления. Отличия в методах Ньютона и Лейбница сводились только к различной системе обозначений.
В 1684 году Лейбниц опубликовал свои методы дифференциального исчисления. При этом в первом издании он по непонятным причинам не упомянул о Ньютоне. Однако во второй работе, посвященной интегральному исчислению, он отдал должное своему коллеге:
«Ньютон подошел к открытию квадратур при помощи бесконечных рядов не только совершенно независимо, но он настолько дополнил метод вообще, что издание его работ, до сих пор не получившее осуществления, явилось бы несомненно поводом новых больших успехов в науке».
Сам Ньютон, по различным причинам до 1704 года не публиковал своих математических результатов. Между тем к началу девяностых годов, благодаря деятельности Лейбница, метод получил распространение и большинство ученых связывало его с именем немецкого ученого. В 1693 году Лейбниц попытался возобновить научную переписку с Ньютоном. Ответ англичанина был очень лоялен, но дальнейшего развития сотрудничество не получило. Возможно, изначально Ньютон не собирался бороться за приоритет. Вот что он писал Лейбницу:
«Наш Уоллис присоединил к своей «Алгебре» только что появившиеся некоторые из писем, которые я писал к тебе в свое время. При этом он потребовал от меня, чтобы я изложил открыто тот метод, который я в то время скрыл от тебя переставлением букв; я сделал это коротко, насколько мог. Надеюсь, что я при этом не написал ничего, что было бы тебе неприятно, если же это случилось, то прошу сообщить, потому что друзья мне дороже математических открытий».
В этот раз к борьбе за приоритет Ньютона подтолкнули его английские коллеги, считавшие, что вопрос первенства важен для поддержания авторитета английской науки. В 1695 году Уоллис писал Ньютону: «Вы не заботитесь как следует о Вашей чести и чести нации, удерживая столь долго Ваши ценные открытия».
Но и это не подвигло Ньютона к активным действиям. Непосредственным началом спора стала работа математика Дюилье, опубликованная в 1699 году. Дюилье враждовал с Лейбницем. Его работа подчеркивала приоритет Ньютона в открытии дифференциального и интегрального исчислений и даже намекала на то, что Лейбниц мог заимствовать результаты своего английского коллеги (немецкий ученый бывал в Лондоне и общался с Коллинзом и с Ольденбургом, секретарем Общества). Лейбниц написал, что не намерен вступать с Ньютоном в спор по поводу приоритета открытия, и временно ситуация разрядилась.
Как мы уже писали, сама полемика возникла после опубликования в 1704 году «Оптики» Ньютона. Скорее всего, сам Лейбниц написал анонимную рецензию на «Оптику». Рецензия была написана в хвалебном тоне. Но в ней были использованы термины и обозначения Лейбница. Ньютон расценил эту демонстрацию как обвинение в плагиате. Однако не он, а его ученик Джон Кейль вступил в борьбу и в 1708 году написал работу «О законе центральных сил», в которой были следующие строки:
«Все это следует из столь знаменитого теперь метода флюксий, первым изобретателем которого был, без сомнения, сэр Исаак Ньютон, как в этом легко убедится каждый, кто прочтет его письма, опубликованные Уоллисом. То же исчисление опубликовано позднее Лейбницем в „Acta eruditorum“ , причем он только изменил название, вид и способ обозначений».
Лейбниц подал секретарю Королевского общества жалобу на Кейля. Была создана комиссия по разрешению конфликта. Состав комиссии нельзя с полным основанием назвать непредвзятым. Большинство ее членов были сторонниками Ньютона. Комиссия заключила, что Ньютон был первооткрывателем метода, и оправдала Кейля. Оба великих ученых, до того демонстрировавшие лояльность по отношению друг к другу, были чуть ли не насильно вовлечены в «гадкий, гнусный, соблазнительный, свинский скандал». Ведь теперь, после многочисленных обвинений с той и другой сторон, они уже не могли оставаться в стороне. Спор не прекратился даже после смерти Лейбница в 1716 году и периодически возобновлялся до конца жизни Ньютона.
