Рассмотрим теперь оси симметрии сторон треугольника. Напомним, что осью симметрии отрезка является перпендикуляр, восставленный к отрезку в его середине.
Любая точка такого перпендикуляра одинаково удалена от концов отрезка. Пусть теперь - перпендикуляры, проведенные через середины сторон ВС и АС треугольника ABC (рис. 220) к этим сторонам, т. е. оси симметрии этих двух сторон. Точка их пересечения Q одинаково удалена от вершин В и С треугольника, так как лежит на оси симметрии стороны ВС, точно так же она и одинаково удалена от вершин А и С. Следовательно, она одинаково удалена от всех трех вершин треугольника, в том числе от вершин А и В. Значит, она лежит на оси симметрии третьей стороны АВ треугольника. Итак, оси симметрии трех сторон треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка одинаково удалена от вершин треугольника. Следовательно, если провести окружность радиусом, равным расстоянию этой точки от вершин треугольника, с центром в найденной точке, то она пройдет через все три вершины треугольника. Такая окружность (рис. 220) называется описанной окружностью. Обратно, если представить себе окружность, проходящую через три вершины треугольника, то ее центр обязан находиться на равных расстояниях от вершин треугольника и потому принадлежит каждой из осей симметрии сторон треугольника.
Поэтому у треугольника имеется только одна описанная окружность: вокруг данного треугольника можно описать окружность, и притом только одну; центр ее лежит в точке пересечения трех перпендикуляров, восставленных к сторонам треугольника в их серединах.
На рис. 221 показаны окружности, описанные вокруг остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольников; центр описанной окружности лежит в первом случае внутри треугольника, во втором - на середине гипотенузы треугольника, в третьем - вне треугольника. Это проще всего следует из свойств углов, опирающихся на дугу окружности (см. п. 210).
Так как любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно считать вершинами треугольника, то можно утверждать, что через три любые точки, не принадлежащие прямой, проходит единственная окружность. Поэтому две окружности имеют не более двух общих точек.
20 мая 2014Жизнь людей наполнена симметрией. Это удобно, красиво, не нужно выдумывать новых стандартов. Но что она есть на самом деле и так ли красива в природе, как принято считать?
С древних времен люди стремятся упорядочить мир вокруг себя. Поэтому что-то считается красивым, а что-то не очень. С эстетической точки зрения как привлекательные рассматриваются золотое и серебряное сечения, а также, разумеется, симметрия. Этот термин имеет греческое происхождение и дословно означает "соразмерность". Разумеется, речь идет не только о совпадении по этому признаку, но также и по некоторым другим. В общем смысле симметрия - это такое свойство объекта, когда в результате тех или иных образований результат равен исходным данным. Это встречается как в живой, так и в неживой природе, а также в предметах, сделанных человеком.
Прежде всего термин "симметрия" употребляется в геометрии, но находит применение во многих научных областях, причем его значение остается в общем и целом неизменным. Это явление достаточно часто встречается и считается интересным, поскольку различается несколько его видов, а также элементов. Использование симметрии также интересно, ведь она встречается не только в природе, но и в орнаментах на ткани, бордюрах зданий и многих других рукотворных предметах. Стоит рассмотреть это явление поподробнее, поскольку это крайне увлекательно.
В дальнейшем симметрия будет рассматриваться с точки зрения геометрии, однако стоит упомянуть, что данное слово используется не только здесь. Биология, вирусология, химия, физика, кристаллография - все это неполный список областей, в которых данное явление изучается с различных сторон и в разных условиях. От того, к какой науке относится этот термин, зависит, например, классификация. Так, разделение на типы серьезно варьируется, хотя некоторые основные, пожалуй, остаются неизменными везде.
Различают несколько основных типов симметрии, из которых наиболее часто встречаются три:
Кроме того, в геометрии различают также следующие типы, они встречаются значительно реже, но не менее любопытны:
В биологии все виды называются несколько иначе, хотя по сути могут быть такими же. Подразделение на те или иные группы происходит на основании наличия или отсутствия, а также количества некоторых элементов, таких как центры, плоскости и оси симметрии. Их следует рассмотреть отдельно и более подробно.
В явлении выделяют некоторые черты, одна из которых обязательно присутствует. Так называемые базовые элементы включают в себя плоскости, центры и оси симметрии. Именно в соответствии с их наличием, отсутствием и количеством определяется тип.
Центром симметрии называют точку внутри фигуры или кристалла, в которой сходятся линии, соединяющие попарно все параллельные друг другу стороны. Разумеется, он существует не всегда. Если есть стороны, к которым нет параллельной пары, то такую точку найти невозможно, поскольку ее нет. В соответствии с определением, очевидно, что центр симметрии - это то, через что фигура может быть отражена сама на себя. Примером может служить, например, окружность и точка в ее середине. Этот элемент обычно обозначается как C.
Плоскость симметрии, разумеется, воображаема, но именно она делит фигуру на две равные друг другу части. Она может проходить через одну или несколько сторон, быть параллельной ей, а может делить их. Для одной и той же фигуры может существовать сразу несколько плоскостей. Эти элементы обычно обозначаются как P.
Но, пожалуй, наиболее часто встречается то, что называют "оси симметрии". Это нередкое явление можно увидеть как в геометрии, так и в природе. И оно достойно отдельного рассмотрения.
Часто элементом, относительно которого фигуру можно назвать симметричной, 
выступает прямая или отрезок. В любом случае речь идет не о точке и не о плоскости. Тогда рассматриваются оси симметрии фигур. Их может быть очень много, и расположены они могут быть как угодно: делить стороны или быть параллельными им, а также пересекать углы или не делать этого. Оси симметрии обычно обозначаются как L.
Примерами могут служить равнобедренные и равносторонние треугольники. В первом случае будет вертикальная ось симметрии, по обе стороны от которой равные грани, а во втором линии будут пересекать каждый угол и совпадать со всеми биссектрисами, медианами и высотами. Обычные же треугольники ею не обладают.
Кстати, совокупность всех вышеназванных элементов в кристаллографии и стереометрии называется степенью симметрии. Этот показатель зависит от количества осей, плоскостей и центров.
Условно можно разделить все множество объектов изучения математиков на фигуры, имеющие ось симметрии, и такие, у которых ее нет. В первую категорию автоматически попадают все правильные многоугольники, окружности, овалы, а также некоторые частные случаи, остальные же попадают во вторую группу.
Как и в случае, когда говорилось про ось симметрии треугольника, данный элемент для четырехугольника существует не всегда. Для квадрата, прямоугольника, ромба или параллелограмма он есть, а для неправильной фигуры, соответственно, нет. Для окружности оси симметрии - это множество прямых, которые проходят через ее центр.
Кроме того, интересно рассмотреть и объемные фигуры с этой точки зрения. Хотя бы одной осью симметрии помимо всех правильных многоугольников и шара будут обладать некоторые конусы, а также пирамиды, параллелограммы и некоторые другие. Каждый случай необходимо рассматривать отдельно.
Зеркальная симметрия в жизни называется билатеральной, она встречается наиболее
часто. Любой человек и очень многие животные тому пример. Осевая же называется радиальной и встречается гораздо реже, как правило, в растительном мире. И все-таки они есть. Например, стоит подумать, сколько осей симметрии имеет звезда, и имеет ли она их вообще? Разумеется, речь идет о морских обитателях, а не о предмете изучения астрономов. И правильным ответом будет такой: это зависит от количества лучей звезды, например пять, если она пятиконечная.
Кроме того, радиальная симметрия наблюдается у многих цветков: ромашки, васильки, подсолнухи и т. д. Примеров огромное количество, они буквально везде вокруг.
Этот термин, прежде всего, напоминает большинству о медицине и кардиологии, однако он изначально имеет несколько другое значение. В данном случае синонимом будет "асимметрия", то есть отсутствие или нарушение регулярности в том или ином виде. Ее можно встретить как случайность, а иногда она может стать прекрасным приемом, например, в одежде или архитектуре. Ведь симметричных зданий очень много, но знаменитая Пизанская башня чуть наклонена, и хоть она не одна такая, но это самый известный пример. Известно, что так получилось случайно, но в этом есть своя прелесть.
Кроме того, очевидно, что лица и тела людей и животных тоже не полностью симметричны. Проводились даже исследования, согласно результатам которых "правильные" лица расценивались как неживые или просто непривлекательные. Все-таки восприятие симметрии и это явление само по себе удивительны и пока не до конца изучены, а потому крайне интересны.
Что же такое ось симметрии? Это множество точек, которые образуют прямую, являющуюся основой симметрии, то есть, если от прямой отложили определенное расстояние с одной стороны, то оно отразится и в другую сторону в таком же размере. Осью может выступать все, что угодно, — точка, прямая, плоскость и так далее. Но об этом лучше говорить на наглядных примерах.
Для того чтобы понять, что такое ось симметрии, нужно вникнуть в само определение симметрии. Это соответствие определенного фрагмента тела относительно какой-либо оси, когда его структура неизменна, а свойства и форма такого объекта остаются прежними относительно его преобразований. Можно сказать, что симметрия — свойство тел к отображению. Когда фрагмент не может иметь подобного соответствия, это называется асимметрией или же аритмией.
Некоторые фигуры не имеют симметрии, поэтому они и называются неправильными или же асимметричными. К таким относятся различные трапеции (кроме равнобедренной), треугольники (кроме равнобедренного и равностороннего) и другие.
Также обсудим некоторые виды симметрии, чтобы до конца изучить это понятие. Их разделяют так:
Само понятие симметрии часто бывает отправной точкой в теориях и гипотезах ученых древних времен, которые были уверены в математической гармонии мироздания, а также в проявлении божественного начала. Древние греки свято верили в то, что Вселенная симметрична, потому что симметрия великолепна. Человек очень давно использовал идею симметрии в своих познаниях картины мироздания.
В V веке до нашей эры Пифагор считал сферу самой совершенной формой и думал, что Земля имеет форму сферы и таким же образом движется. Также он полагал, что Земля движется по форме какого-то «центрального огня», вокруг которого должны были вращаться 6 планет (известные на то время), Луна, Солнце и все другие звезды.
А философ Платон считал многогранники олицетворением четырех природных стихий:
Из-за всех этих теорий правильные многогранники называют телами Платона.
Симметрией пользовались еще зодчие Древней Греции. Все их постройки были симметричны, об этом свидетельствуют изображения древнего храма Зевса в Олимпии.
Голландский художник М. К. Эшер также прибегал к симметрии в своих картинах. В частности, мозаика из двух птиц, летящих навстречу, стала основой картины «День и ночь».
Также и наши искусствоведы не пренебрегали правилами симметрии, что видно на примере картины Васнецова В. М. «Богатыри».
Что уж там говорить, симметрия — ключевое понятие для всех деятелей искусства на протяжении многих веков, но в XX веке ее смысл оценили также все деятели точных наук. Точным свидетельством являются физические и космологические теории, например, теория относительности, теория струн, абсолютно вся квантовая механика. Со времен Древнего Вавилона и, заканчивая передовыми открытиями современной науки, прослеживаются пути изучения симметрии и открытия ее основных законов.
Рассмотрим внимательнее геометрические тела. Например, осью симметрии параболы является прямая, проходящая через ее вершину и рассекающая данное тело пополам. У этой фигуры имеется одна единственная ось.
А с геометрическими фигурами дело обстоит иначе. Ось симметрии прямоугольника — также прямая, но их несколько. Можно провести ось параллельно отрезкам ширины, а можно — длины. Но не все так просто. Вот прямая не имеет осей симметрии, так как ее конец не определен. Могла существовать только центральная симметрия, но, соответственно, и таковой не будет.
Следует также знать то, что некоторые тела имеют множество осей симметрии. Об этом догадаться несложно. Даже не нужно говорить о том, сколько осей симметрии имеет окружность. Любая прямая, проходящая через центр окружности, является таковой и этих прямых — бесконечное множество.
У некоторые четырехугольников может быть две оси симметрии. Но вторые должны быть перпендикулярны. Это происходит в случае с ромбом и прямоугольником. В первом оси симметрии — диагонали, а во втором — средние линии. Множество таковых осей только у квадрата.
Природа поражает множеством примеров симметрии. Даже наше человеческое тело устроено симметрично. Два глаза, два уха, нос и рот расположены симметрично относительно центральной оси лица. Руки, ноги и все тело в общем устроено симметрично оси, проходящей через середину нашего тела.
А сколько примеров окружает нас постоянно! Это цветы, листья, лепестки, овощи и фрукты, животные и даже соты пчел имеют ярко выраженную геометрическую форму и симметрию. Вся природа устроена упорядоченно, всему есть свое место, что еще раз подтверждает совершенство законов природы, в которых симметрия — основное условие.
Нас постоянно окружают какие-либо явления и предметы, например, радуга, капля, цветы, лепестки и так далее. Их симметрия — очевидна, в какой-то степени она обусловлена гравитацией. Часто в природе под понятием «симметрия» понимают регулярную смену дня и ночи, времен года и так далее.
Подобные свойства наблюдаются везде, где есть порядок и равенство. Также и сами законы природы — астрономические, химические, биологические и даже генетические подчинены определенным принципам симметрии, так как имеют совершенную системность, а значит, сбалансированность имеет всеохватывающий масштаб. Следовательно, осевая симметрия — один из основополагающих законов мироздания в целом.
Осью симметрии называется прямая линия, при повороте вокруг которой на некоторый определённый угол фигура совмещается сама с собой .
Наименьший угол поворота, приводящий фигуру к самосовмещению, называется элементарным углом поворота оси . Элементарный угол поворота оси содержится целое число раз в 360 :
где n – целое число.
Число n, показывающее сколько раз элементарный угол поворота оси содержится в 360 0 , называется порядком оси.
В геометрических фигурах могут присутствовать оси любых порядков, начиная от оси первого порядка и кончая осью бесконечного порядка.
Элементарный угол поворота оси первого порядка (n = 1) равен 360 0 . Так как каждая фигура, будучи повернута вокруг любого направления на 360 0 , совмещается сама с собой, то всякая фигура обладает бесконечным количеством осей первого порядка. Такие оси не являются характерными, поэтому они обычно не упоминаются.
Ось бесконечного порядка отвечает бесконечно малому элементарному углу поворота. Эта ось присутствует во всех фигурах вращения в качестве оси вращения.
Примерами осей третьего, четвертого, пятого, шестого и т. д. порядков являются перпендикуляры к плоскости рисунка, проходящие через центры правильных многоугольников, треугольников, квадратов, пятиугольников и т.п.
Таким образом, в геометрии существует бесконечный ряд осей различных порядков.
В кристаллических же многогранниках возможны не любые оси симметрии, а только оси первого, второго, третьего, четвертого и шестого порядка.
Оси симметрии пятого и выше шестого порядка в кристаллах невозможны. Это положение является одним из основных законов кристаллографии и называется законом симметрии кристаллов.
Как и др. геометрические законы кристаллографии, закон симметрии кристаллов объясняется решетчатым строением кристаллического вещества. Действительно, раз симметрия кристалла есть проявление симметрии его внутреннего строения, то в кристаллах возможны только такие элементы симметрии, которые не противоречат свойствам пространственной решетки.
Докажем, что ось пятого порядка не удовлетворяет законам пространственной решетки и тем самым докажем ее невозможность в кристаллических многогранниках.
Предположим, что ось пятого порядка в пространственной решетке возможна. Пусть эта ось будет перпендикулярна плоскости чертежа, пересекая ее в точке О (рис.2.9). В частном случае точка О может совпадать с одним из узлов решетки.
Рис. 2.9. Ось симметрии пятого порядка невозможна в пространственных решетках
Возьмем ближайший от оси узел решетки А 1 , лежащий в плоскости чертежа. Так как вокруг оси пятого порядка все повторяется пять раз, то ближайших к ней узлов в плоскости чертежа должно быть всего пять А 1 ,А 2 ,А 3 ,А 4 ,А 5 . Располагаясь на одинаковых расстояниях от точки О в вершинах правильного пятиугольника, они совмещаются друг с другом при повороте вокруг О на 360/5=72°.
Эти пять узлов, лежащие в одной плоскости, образуют плоскую сетку пространственной решетки и поэтому к ним приложимы все основные свойства решетки. Если узлы А 1 и А 2 принадлежат ряду плоской сетки с промежутком А 1 А 2 , то через любой узел решетки можно провести ряд, параллельный ряду А 1 А 2 . Проведем такой ряд через узел А 3 . Этот ряд, проходящий и через узел А 5 , должен иметь промежуток, равный А 1 А 2 , т. к. в пространственной решетке все параллельные ряды обладают одинаковой плотностью.
Следовательно, на расстоянии А 3 А x = А 1 А 2 от узла А 3 должен находиться еще один узел А x . Однако дополнительный узел А x оказывается лежащим ближе к точке О, чем узел А 1 , взятый по условию ближайшим к оси пятого порядка.
Таким образом, сделанное нами допущение о возможности оси пятого порядка в пространственных решетках привело нас к явному абсурду и поэтому является ошибочным.
Поскольку существование оси пятого порядка несовместимо с основными свойствами пространственной решетки, то такая ось невозможна и в кристаллах.
Аналогичным образом доказывается невозможность существования в кристаллах осей симметрии выше шестого порядка и, наоборот, возможность в кристаллах осей второго, третьего, четвертого и шестого порядка, присутствие которых не противоречит свойствам пространственных решеток.
Для обозначения осей симметрии употребляется буква L, а порядок оси указывается маленькой цифрой, располагаемой справа от буквы (например, L 4 - ось четвертого порядка).
В кристаллических многогранниках оси симметрии могут проходить через центры противоположных граней перпендикулярно к ним, через середины противоположных ребер перпендикулярно к ним (только L 2) и через вершины многогранника. В последнем случае симметричные грани и ребра одинаково наклонены к данной оси.
Кристалл может иметь несколько осей симметрии одного порядка, количества которых указывается коэффициентом перед буквой. Например, в прямоугольном параллелепипеде присутствует 3L 2 , т. е. три оси симметрии второго порядка; в кубе имеются 3L 4 , 4L 3 и 6L 2 , т. е. три оси симметрии четвертого порядка, четыре оси третьего порядка и шесть осей второго порядка и т. д.
Точки М и М1 называются симметричными относительно заданной прямой L , если эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку МM1 (рис 1). Каждая точка прямой L симметрична сама себе. Преобразование плоскости, при котором каждая точка отображается на симметричную ей точку относительно данной прямой L , называется осевой симметрией с осью L и обозначается SL : SL (M) = M1 .
Точки М и М1 взаимно симметричны относительно L , поэтому SL (M1 )=M . Следовательно, преобразование, обратное осевой симметрии, есть та же осевая симметрия: SL -1 = SL , SL ° SL = E . Иначе говоря, осевая симметрия плоскости является инволютивным преобразованием.
Образ данной точки при осевой симметрии можно просто построить, пользуясь только одним циркулем. Пусть L - ось симметрии, A и B - произвольные точки этой оси (рис 2). Если и SL (M) = M1 , то по свойству точек серединного перпендикуляра к отрезку имеем: AM = AM1 и BM = BM1 . Значит, точка M1 принадлежит двум окружностям: окружности с центром A радиуса AM и окружности с центром B радиуса BM (M - данная точка). Фигура F и её образ F1 при осевой симметрии называются симметричными фигурами относительно прямой L (рис 3).
Теорема. Осевая симметрия плоскости есть движение.
Если А и В - любые точки плоскости и SL (A) = A1 , SL (B) = B1 , то надо доказать, что A1 B1 = AB . Для этого введем прямоугольную систему координат OXY так, чтобы ось OX совпала с осью симметрии. Точки А и В имеют координаты А(x1 ,-y1 ) и B(x1 ,-y2 ) .Точки А1 и В1 имеют координаты A1 (x1 ,y1 ) и B1 (x1 ,y2 ) (рис 4 - 8). По формуле расстояния между двумя точками находим:
Из этих соотношений ясно, что АВ=А1 В1 , что и требовалось доказать.
Из сравнения ориентаций треугольника и его образа получаем, что осевая симметрия плоскости есть движение второго рода .
Осевая симметрия отображает каждую прямую на прямую. В частности, каждая из прямых, перпендикулярных оси симметрии, отображается этой симметрией на себя.
Теорема. Прямая, отличная от перпендикуляра к оси симметрии, и её образ при этой симметрии пересекаются на оси симметрии или ей параллельны.
Доказательство. Пусть дана прямая, не перпендикулярная оси L симметрии. Если m ? L= P и SL (m)=m1 , то m1 ?m и SL (P)=P , поэтому Pm1 (рис 9). Если же m || L , то m1 || L , так как в противном случае прямые m и m1 пересекались бы в точке прямой L , что противоречит условию m ||L (рис 10).
В силу определения равных фигур, прямые, симметричные относительно прямой L , образуют с прямой L равные углы (рис 9).
Прямая L называется осью симметрии фигуры F , если при симметрии с осью L фигура F отображается на себя: SL (F) =F . Говорят, что фигура F симметрична относительно прямой L .
Например, всякая прямая, содержащая центр окружности, является осью симметрии этой окружности. Действительно, пусть М - произвольная точка окружности щ с центром О , ОL , SL (M)= M1 . Тогда SL (O) = O и OM1 =OM , т. е. M1 є щ . Итак, образ любой точки окружности принадлежит этой окружности. Следовательно, SL (щ)=щ .
Осями симметрии пары непараллельных прямых служат две перпендикулярные прямые, содержащие биссектрисы углов между данными прямыми. Осью симметрии отрезка является содержащая его прямая, а также серединный перпендикуляр к этому отрезку.
Свойства осевой симметрии
